Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o custo amortizado de incrementar um contador binário, sabendo que um incremento pode inverter muitos bits?

  1. AO(n) por incremento
  2. BO(1) por incremento
  3. CO(n log n) por incremento
  4. DO(log n) por incremento
3.Estruturas de dadosMédia

Uma tabela hash de tamanho 7 usa h(k) = k mod 7 e sondagem linear. Depois de inserir 10, onde 17 é armazenado?

  1. ANo índice 3
  2. BNo índice 4
  3. CNo índice 6
  4. DNo índice 0
4.Estruturas de dadosDifícil

A remoção de um nó com dois filhos de uma árvore binária de busca normalmente é feita:

  1. AReconstruindo do zero a subárvore abaixo dele e reinserindo todas as chaves que ela continha
  2. BTrocando-o com a raiz
  3. CRemovendo a subárvore inteira
  4. DSubstituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 9 vértices e 11 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 9|E| = 11
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
313111191067ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre, nlog₂ 2 = n domina o trabalho constante, então T(n) = Θ(n), como ao encontrar um máximo dividindo em metades.

Resposta

A · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(1) por incremento

Porque é esta a resposta

Em n incrementos, o bit i inverte cerca de n / 2ⁱ vezes, então o total é menos de 2n inversões, uma média de O(1) cada.

Resposta

B · O(1) por incremento
3.Estruturas de dados

Resposta: B · No índice 4

Porque é esta a resposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; o índice 3 está ocupado, então a sondagem linear tenta a próxima posição, o índice 4.

Resposta

B · No índice 4
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó

Porque é esta a resposta

O sucessor em ordem tem no máximo um filho, então pode ser removido facilmente depois de copiar sua chave para o nó que está sendo removido.

Resposta

D · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

9 − 1 = 8

Arestas a remover

k = 11 − 8 = 3

Resposta

k = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 28

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BD (1): tomar
AB (3): tomar
DF (6): tomar
EF (7): tomar
DE (10): descartar, fecha um ciclo
BC (11): tomar

Peso total

W = 1 + 3 + 6 + 7 + 11 = 28

Resposta

W = 28

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