Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de log₂ n
  2. BCerca de n / 2
  3. CCerca de √n
  4. DCerca de n
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

  1. ANão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
  2. BSim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
  3. CSim, portanto o limite inferior está errado
  4. DNão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a complexidade de tempo da busca de uma chave em uma árvore binária de busca balanceada?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual afirmação sobre o heapsort está correta?

  1. APrecisa de uma árvore binária de busca como armazenamento extra, então usa O(n) de memória adicional
  2. BRoda em tempo O(n) para qualquer entrada
  3. COrdena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
  4. DÉ estável e precisa de O(n) de memória extra
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 33 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios de comprimento 3 vão de D a E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

A · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

A · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(log n)

Porque é esta a resposta

Uma árvore balanceada tem altura de cerca de log₂ n, então uma busca segue um único caminho da raiz até uma folha.

Resposta

B · O(log n)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável

Porque é esta a resposta

O heapsort constrói um max-heap e extrai o máximo n vezes dentro do mesmo array; trocas a longas distâncias podem mudar a ordem de chaves iguais.

Resposta

C · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 18 = 2(L + 7) − 2
L = 6

Resposta

L = 6

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 5

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Mais um passo

(M³)DE = 1·0 + 0·0 + 2·1 + 3·1 + 0·0 + 0·0 = 5

Resposta

N = 5

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