Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O limite inferior para ordenação baseada em comparações no pior caso é:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como é classificado o problema do caixeiro-viajante?

  1. AÉ indecidível
  2. BA versão de decisão está em P, mas a versão de otimização é NP-completa
  3. CEstá em P, porque o algoritmo de Dijkstra o resolve visitando cada cidade uma única vez
  4. DA versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B24
  3. C11
  4. D14
4.Estruturas de dadosDifícil

Você precisa guardar os k menores valores de um fluxo de n números usando O(k) de memória. Qual abordagem funciona em tempo O(n log k)?

  1. AUm min-heap com todos os n valores, do qual os k menores são removidos no final
  2. BUm max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
  3. CUma fila FIFO com os últimos k valores
  4. DUm array ordenado com todos os n valores
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 10 vértices e 10 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 10|E| = 10
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
731210117125ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Ω(n log n)

Porque é esta a resposta

Qualquer ordenação por comparação precisa de pelo menos log₂(n!) ≈ n log n comparações no pior caso. O counting sort supera esse limite porque não faz comparações.

Resposta

C · Ω(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil

Porque é esta a resposta

"Existe um percurso de comprimento no máximo k?" é NP-completo; encontrar o percurso mais curto é NP-difícil, pois é pelo menos tão difícil quanto.

Resposta

D · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

D · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor

Porque é esta a resposta

A raiz do max-heap é o maior valor guardado; qualquer valor novo menor a substitui em O(log k), então o heap sempre contém os k menores até o momento.

Resposta

B · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 1

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

10 − 1 = 9

Arestas a remover

k = 10 − 9 = 1

Resposta

k = 1
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 27

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 7
C (7): B: 10, E: 17
B (10): D: 22, E: 15
E (15): F: 27
D (22)
F (27)

Caminho mais curto

A → C → B → E → F
d(F) = 27

Resposta

d(F) = 27

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