Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Num array ordenado, você procura dois elementos cuja soma seja um alvo movendo um ponteiro de cada extremidade para dentro. Qual é a complexidade de tempo?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca média em uma tabela hash é O(1), mas o pior caso é O(n)?

  1. AAs chaves precisam ser ordenadas primeiro
  2. BFunções hash são lentas
  3. CArrays têm acesso O(n)
  4. DMuitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dadosMédia

Uma rede rodoviária tem 100,000 cruzamentos, cada um ligado a cerca de 4 outros. Qual representação é mais adequada?

  1. AUm único array ordenado de vértices
  2. BLista de adjacência
  3. CMatriz de adjacência
  4. DUm heap binário de arestas
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que não se pode simplesmente remover elementos de um filtro de Bloom padrão zerando seus bits?

  1. AEsses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
  2. BFiltros de Bloom armazenam os elementos completos, que não podem ser localizados de novo depois do hash
  3. COs bits de um filtro de Bloom não podem ser alterados depois da criação
  4. DRemover aumentaria a taxa de falsos positivos para 100%
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 8 vértices e 11 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 8|E| = 11
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Se a soma for pequena demais, o ponteiro da esquerda vai para a direita; se for grande demais, o da direita vai para a esquerda, então há no máximo n passos.

Resposta

A · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket

Porque é esta a resposta

Com uma boa função hash e um fator de carga adequado, os buckets permanecem curtos em média; um hashing malicioso ou ruim pode colocar todas as chaves em um único bucket.

Resposta

D · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Lista de adjacência

Porque é esta a resposta

Uma matriz precisaria de 1010 células, quase todas vazias; uma lista de adjacência armazena só as cerca de 400,000 entradas de arestas.

Resposta

B · Lista de adjacência
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos

Porque é esta a resposta

Zerar um bit compartilhado faria outro elemento parecer ausente; filtros de Bloom com contagem usam contadores em vez de bits para permitir a remoção.

Resposta

A · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

8 − 1 = 7

Arestas a remover

k = 11 − 7 = 4

Resposta

k = 4
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Vizinhos comuns

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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