Equações Diferenciais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrais

Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrais comuns: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescreva o integrando como uma soma de termos simples sempre que possível.
Aplique a regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), e as integrais padrão para e^x, 1/x, sen e cos.
Use substituição quando vir uma função e sua derivada juntas.
Para uma integral definida, calcule F(b) − F(a).

Derivadas

Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′
Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Regra da cadeia: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Derivadas comuns: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Método

Identifique a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
Aplique a regra da potência a cada potência de x.
Use a regra do produto, do quociente ou da cadeia quando necessário.
Simplifique e, se pedido, calcule o valor no ponto.

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

2Exercícios

1.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 8y′ + 15y = 0 com y(0) = 3 e y′(0) = 6. Encontre y(1).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 6

y(1) =

2.Equações diferenciaisDifícil

Resolva y″ + 2y′ + 17y = 0 com y(0) = 5 e y′(0) = 0 (solto a partir do repouso). Encontre y(0,25); ângulos em radianos.

y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegraisMédia

Calcule I = ∫₂¹⁰ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 10]

I =

4.IntegraisDifícil

Calcule a área A da região entre a parábola y = 4 − x² e o eixo x.

y = 4 − x²

A =

5.DerivadasMédia

Seja f(x) = ln(x² + 1). Calcule f′(−1).

f(x) = ln(x² + 1)x = −1

f′(−1) =

6.DerivadasDifícil

Seja f(x) = x³ − 12x² + 36x + 3. Calcule a abcissa x do mínimo local.

f(x) = x³ − 12x² + 36x + 3

x =

7.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₁⁴ 1/x dx com a regra do trapézio, n = 4, e compare com o valor exato. Encontre o erro absoluto |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 4

|E| =

8.Métodos numéricosDifícil

Dê um passo do método clássico de Runge–Kutta (RK4) com h = 0,1 para y′ = cos t − y, y(0) = −1. Encontre y₁ ≈ y(0,1).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1

y₁ =

3Soluções

1.Equações diferenciais

Resposta: y(1) = 0,4722

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 3, −3A − 5B = 6

A = 10,5, B = −7,5

Calcular

y(1) = 10,5·e⁻³ + (−7,5)·e⁻⁵ = 0,4722

Resposta

y(1) = 0,4722

2.Equações diferenciais

Resposta: y(0.25) = 2,923

Raízes complexas

r = −1 ± 4j

Constantes

A = 5, B = 1·5/4 = 1,25

Calcular

y(0,25) = e^−0,25(5·cos 1 + 1,25·sin 1) = 2,923

Resposta

y(0,25) = 2,923

3.Integrais

Resposta: I = 1,609

Integrais definidos: ∫ₐᵇ f(x) dx é a área com sinal entre o gráfico e o eixo x de a a b. Encontre uma primitiva F (com F′ = f) e calcule F(b) − F(a). Regra da potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). A área entre duas curvas é ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = ln x

Avaliar nos limites

I = (ln 10 − ln 2) = ln 5 = 1,609

Resposta

I = 1,609

4.Integrais

Resposta: A = 10,67

Zeros

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrar

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Resposta

A = 10,67

5.Derivadas

Resposta: f′(−1) = −1

Derivação: a derivada f′(x) é o declive do gráfico em x. Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′. Regra da cadeia: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Onde f′(x) = 0 o gráfico tem tangente horizontal: um máximo, um mínimo ou um ponto de sela.

Regra da cadeia para o logaritmo

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Substituir

f′(−1) = −2/2 = −1

Resposta

f′(−1) = −1

6.Derivadas

Resposta: x = 6

Derivada

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

Resolver f′(x) = 0

x = 2 ou x = 6

Qual é qual

f″(x) = 6x − 24: negativa num máximo, positiva num mínimo.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 6

Resposta

x = 6

7.Métodos numéricos

Resposta: |E| = 0,0418

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Valor exato

I = 1,386294

Regra do trapézio

T = (0,75/2)·(1 + 2·0,571429 + 2·0,4 + 2·0,307692 + 0,25) = 1,428091

Erro

|E| = |1,428091 − 1,386294| = 0,0418

Resposta

|E| = 0,0418

Erro relativo: 3,015%.

8.Métodos numéricos

Resposta: y₁ = −0,8098

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Quatro inclinações

k₁ = f(0, −1) = 2

k₂ = f(0,05, −0,9) = 1,89875

k₃ = f(0,05, −0,905062) = 1,903813

k₄ = f(0,1, −0,809619) = 1,804623

Combine

y₁ = −1 + (0,1/6)(2 + 2·1,89875 + 2·1,903813 + 1,804623) = −0,8098

Resposta

y₁ = −0,8098

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