Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a ¬(q ∧ p)? Clique nela.
¬(q ∧ p)
1¬q ∨ ¬p
2¬q ∨ p
3¬q ∧ ¬p
4¬q ∧ p
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Quantas das 16 linhas da tabela-verdade tornam ((s ∧ ¬q) ∨ (¬s ∧ p)) → ((¬p → q) → r) verdadeira? Chame esse número de N.
((s ∧ ¬q) ∨ (¬s ∧ p)) → ((¬p → q) → r)
N =
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Num grupo de 47 estudantes, 22 falam francês (F), 18 falam alemão (G) e 29 falam espanhol (S). 6 falam francês e alemão, 15 francês e espanhol, 10 alemão e espanhol, e 4 falam os três. Quantos estão somente em F?
|U| = 47
|F − (G ∪ S)| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {a, b}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, a), (5, b)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.
|V| = 6|E| = 8
1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(E) do caminho mais curto de A até E no grafo ponderado.
início: Afim: E
d(E) =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 11 módulo 17: o número x com 0 < x < 17 e 11·x ≡ 1 (mod 17).
a = 11n = 17
11−1 mod 17 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Uma chave RSA usa os primos p = 23 e q = 43 e o expoente público e = 5. Encontre o expoente privado d (0 < d < φ(n)).
p = 23q = 43e = 5
d =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬q ∨ ¬p
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
De Morgan: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b. O ∧ vira ∨ e as duas partes são negadas.
¬(q ∧ p) ≡ ¬q ∨ ¬p
Confira com a tabela-verdade
p = 1, q = 1: 0 | 0 1 0 0
p = 1, q = 0: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 1: 1 | 1 0 0 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0
Resposta
¬q ∨ ¬p
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: N = 13
Tabelas-verdade: uma fórmula com n variáveis diferentes tem 2ⁿ linhas, uma para cada combinação de valores lógicos (1 = verdadeiro, 0 = falso). Trabalhe de dentro para fora e dê a cada subfórmula a sua própria coluna. ¬a inverte o valor; a ∧ b vale 1 somente quando ambos valem 1; a ∨ b vale 0 somente quando ambos valem 0; a → b vale 0 somente quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando os dois lados são iguais.
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e pares
F ∩ G ∩ S: 4
F ∩ G apenas: 6 − 4 = 2
F ∩ S apenas: 15 − 4 = 11
G ∩ S apenas: 10 − 4 = 6
Conjuntos individuais
F apenas: 22 − 2 − 11 − 4 = 5
G apenas: 18 − 2 − 6 − 4 = 6
S apenas: 29 − 11 − 6 − 4 = 8
Resposta
|F − (G ∪ S)| = 5
Resposta
|F − (G ∪ S)| = 5
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: sobrejetora, não injetora
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
f(1) = f(2) = a → não injetora
Sobrejetora?
todo elemento de B é atingido → sobrejetora
Resposta
sobrejetora, não injetora
Resposta
sobrejetora, não injetora
5.Teoria dos grafos
Resposta: nenhuma das duas
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.
A (0): B: 2
B (2): C: 17, G: 15
G (15): D: 18
C (17): E: 23
D (18): F: 25
E (23)
F (25)
Caminho mais curto
A → B → C → E
d(E) = 23
Resposta
d(E) = 23
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 11−1 mod 17 = 14
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·11 (mod 17).
r = 17, t = 0
r = 11, q = 1, t = 1
r = 6, q = 1, t = −1
r = 5, q = 1, t = 2
r = 1, q = 5, t = −3
Inversa
1 ≡ −3·11 (mod 17)
x = 14
verificação: 11·14 = 154 = 9·17 + 1
Resposta
11−1 mod 17 = 14
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: d = 185
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.