Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
¬(c ∨ ¬c) é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência? Clique na sua resposta.
¬(c ∨ ¬c)
1tautologia
2contradição
3contingência
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
O argumento com premissas b → a; ¬b e conclusão ¬a é inválido. Clique na linha da tabela-verdade que é um contraexemplo.
b → a¬b∴ ¬a
1a = 1, b = 1
2a = 1, b = 0
3a = 0, b = 1
4a = 0, b = 0
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Cada número no diagrama de Venn é o número de elementos dessa região. Encontre |C ∩ B|.
|U| = 50
|C ∩ B| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
Uma relação de equivalência R em {1, …, 7} tem as classes {1, 4, 5}, {2, 3, 6, 7}. Quantos pares ordenados R contém? Chame o número de |R|.
{1, 4, 5}{2, 3, 6, 7}
|R| =
5.Teoria dos grafosMédia
O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.
|V| = 5|E| = 6
1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4; as arestas descartadas não contam.
k = 4
1aresta AB
2aresta AC
3aresta BC
4aresta BD
5aresta CE
6aresta DE
7aresta DF
8aresta BE
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Resolva 51x ≡ 73 (mod 79). Dê a solução x com 0 < x < 79.
51x ≡ 73 (mod 79)
x =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Cifre a mensagem m = 380 com a chave pública RSA (n, e) = (407, 23). Encontre o texto cifrado c.
n = 407e = 23m = 380
c =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: contradição
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Tabela-verdade linha por linha
c = 1: ¬c = 0, c ∨ ¬c = 1, ¬(c ∨ ¬c) = 0
c = 0: ¬c = 1, c ∨ ¬c = 1, ¬(c ∨ ¬c) = 0
Classifique
¬(c ∨ ¬c): 0, 0
0 em todas as linhas: uma contradição.
Resposta
contradição
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: a = 1, b = 0
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Premissas e conclusão linha por linha
a = 1, b = 1: 1 0 | 0
a = 1, b = 0: 1 1 | 0
a = 0, b = 1: 0 0 | 1
a = 0, b = 0: 1 1 | 1
Contraexemplo
a = 1, b = 0
Resposta
a = 1, b = 0
Um argumento com essa forma parece uma regra válida, mas uma linha basta para mostrar que não é.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |C ∩ B| = 7
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiões da expressão
A′ ∩ B ∩ C: 2
A ∩ B ∩ C: 5
Somar
|C ∩ B| = 2 + 5 = 7
Resposta
|C ∩ B| = 7
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |R| = 25
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
Pares por classe
|R| = 3² + 4² = 25
Resposta
|R| = 25
5.Teoria dos grafos
Resposta: Circuito euleriano
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Algoritmo de Kruskal
1. BC (1)
2. CE (5)
3. AB (7)
4. DF (15)
5. DE (16)
número da aresta 4
DF
Resposta
aresta DF
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: x = 51
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 51
r = 79, t = 0
r = 51, q = 1, t = 1
r = 28, q = 1, t = −1
r = 23, q = 1, t = 2
r = 5, q = 4, t = −3
r = 3, q = 1, t = 14
r = 2, q = 1, t = −17
r = 1, q = 2, t = 31
51−1 ≡ 31 (mod 79)
Resolva
x ≡ 31·73 = 2263 ≡ 51 (mod 79)
verificação: 51·51 = 2601 ≡ 73 (mod 79)
Resposta
x = 51
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: c = 359
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.