Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a ¬(r ↔ q)? Clique nela.
¬(r ↔ q)
1r ∧ ¬q
2r ↔ ¬q
3¬r ↔ ¬q
4¬r ∨ ¬q
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Quantas das 16 linhas da tabela-verdade tornam (r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∧ (¬r ∨ s)) verdadeira? Chame esse número de N.
(r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∧ (¬r ∨ s))
N =
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 3)} é uma relação em {1, 2, 3, 4}. Qual é o menor número k de pares ordenados que devem ser acrescentados a R para torná-la transitiva (o tamanho do fecho transitivo menos |R|)?
Um grafo conexo tem 9 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?
|V| = 9|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
Quantos passeios de comprimento 3 vão de C a E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.
M = matriz de adjacênciaL = 3
N =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 41 módulo 73: o número x com 0 < x < 73 e 41·x ≡ 1 (mod 73).
a = 41n = 73
41−1 mod 73 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Uma chave RSA usa p = 19, q = 37 e e = 17. Decifre o texto cifrado c = 177: encontre a mensagem m.
p = 19q = 37e = 17c = 177
m =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: r ↔ ¬q
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
¬(a ↔ b) vale 1 exatamente quando a e b diferem, o que é a ↔ ¬b.
¬(r ↔ q) ≡ r ↔ ¬q
Confira com a tabela-verdade
q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0
q = 1, r = 0: 1 | 0 1 0 1
q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 1
q = 0, r = 0: 0 | 0 0 1 1
Resposta
r ↔ ¬q
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: N = 4
Tabelas-verdade: uma fórmula com n variáveis diferentes tem 2ⁿ linhas, uma para cada combinação de valores lógicos (1 = verdadeiro, 0 = falso). Trabalhe de dentro para fora e dê a cada subfórmula a sua própria coluna. ¬a inverte o valor; a ∧ b vale 1 somente quando ambos valem 1; a ∨ b vale 0 somente quando ambos valem 0; a → b vale 0 somente quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando os dois lados são iguais.
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
Pares a acrescentar
{(2, 3), (4, 2)}
Contar
k = 2
Resposta
k = 2
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: (f ∘ g)(5) = 5
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Função interna
g(5) = 1
Função externa
f(1) = 5
(f ∘ g)(5) = 5
Resposta
(f ∘ g)(5) = 5
5.Teoria dos grafos
Resposta: k = 9
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Arestas de uma árvore geradora
9 − 1 = 8
Arestas a remover
k = 17 − 8 = 9
Resposta
k = 9
6.Teoria dos grafos
Resposta: N = 2
Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.
Matriz de adjacência
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 0
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 0 1 0
Mais um passo
(M³)CE = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 1·1 + 1·0 = 2
Resposta
N = 2
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 41−1 mod 73 = 57
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·41 (mod 73).
r = 73, t = 0
r = 41, q = 1, t = 1
r = 32, q = 1, t = −1
r = 9, q = 3, t = 2
r = 5, q = 1, t = −7
r = 4, q = 1, t = 9
r = 1, q = 4, t = −16
Inversa
1 ≡ −16·41 (mod 73)
x = 57
verificação: 41·57 = 2337 = 32·73 + 1
Resposta
41−1 mod 73 = 57
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: m = 643
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.