Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a c ∧ (b ∨ a)? Clique nela.
c ∧ (b ∨ a)
1(c ∧ b) ∨ (c ∧ a)
2(c ∨ b) ∧ (c ∨ a)
3c ∨ (b ∧ a)
4(c ∧ b) ∨ a
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))
1∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
2∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
4∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
R = {(1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2)} é uma relação em {1, 2, 3}. Qual é o menor número k de pares ordenados que devem ser acrescentados a R para torná-la transitiva (o tamanho do fecho transitivo menos |R|)?
R = {(1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 2)}
k =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
As funções f e g em {1, 2, 3, 4, 5} são dadas pelas suas tabelas. Encontre (f ∘ g)(3).
Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K6? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.
K6
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.
início: Afim: F
d(F) =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre a função totiente de Euler φ(14), o número de inteiros de 1 a 14 que são coprimos com 14.
n = 14 = 2·7
φ(14) =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Cifre a mensagem m = 845 com a chave pública RSA (n, e) = (893, 5). Encontre o texto cifrado c.
n = 893e = 5m = 845
c =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: (c ∧ b) ∨ (c ∧ a)
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
∧ distribui sobre ∨: a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
c ∧ (b ∨ a) ≡ (c ∧ b) ∨ (c ∧ a)
Confira com a tabela-verdade
a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 0 | 0 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 0
a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0
Resposta
(c ∧ b) ∨ (c ∧ a)
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Mova a negação para dentro
¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Resposta
∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: k = 2
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
Pares a acrescentar
{(1, 1), (3, 3)}
Contar
k = 2
Resposta
k = 2
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: (f ∘ g)(3) = 1
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Função interna
g(3) = 2
Função externa
f(2) = 1
(f ∘ g)(3) = 1
Resposta
(f ∘ g)(3) = 1
5.Teoria dos grafos
Resposta: H = 60
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Contar
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
Resposta
H = 60
6.Teoria dos grafos
Resposta: d(F) = 21
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.
A (0): B: 7, C: 6
C (6): E: 16
B (7): D: 9, G: 18
D (9): F: 21, G: 12
G (12)
E (16)
F (21)
Caminho mais curto
A → B → D → F
d(F) = 21
Resposta
d(F) = 21
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: φ(14) = 6
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Fatores primos
14 = 2·7
Totiente
φ(14) = φ(7)·φ(2) = 6·1 = 6
Resposta
φ(14) = 6
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: c = 187
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.