Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a a → b? Clique nela.
a → b
1¬b ∧ ¬a
2¬a → ¬b
3¬b → ¬a
4b → a
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∃x (P(x) ∧ Q(x)), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∃x (P(x) ∧ Q(x))
1∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (P(x) → ¬Q(x))
3∃x (P(x) → ¬Q(x))
4∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
A relação R em {1, 2, 3, 4} está desenhada como um grafo direcionado (um laço significa (x, x) ∈ R). Exatamente uma das quatro propriedades vale. Clique nela.
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, b), (2, c), (3, c)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
Um grafo conexo tem 16 vértices e 26 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?
|V| = 16|E| = 26
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice B. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.
início: Bk = 2
1aresta AB
2aresta BC
3aresta BD
4aresta CE
5aresta DE
6aresta DF
7aresta EF
8aresta GD
9aresta GE
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 23 módulo 73: o número x com 0 < x < 73 e 23·x ≡ 1 (mod 73).
a = 23n = 73
23−1 mod 73 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Uma chave RSA usa os primos p = 29 e q = 43 e o expoente público e = 19. Encontre o expoente privado d (0 < d < φ(n)).
p = 29q = 43e = 19
d =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬b → ¬a
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
Uma implicação é equivalente à sua contrapositiva ¬b → ¬a, e não à sua recíproca b → a nem à sua inversa ¬a → ¬b.
a → b ≡ ¬b → ¬a
Confira com a tabela-verdade
a = 1, b = 1: 1 | 0 1 1 1
a = 1, b = 0: 0 | 0 1 0 1
a = 0, b = 1: 1 | 0 0 1 0
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 1
Resposta
¬b → ¬a
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∀x (P(x) → ¬Q(x))
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Mova a negação para dentro
¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x (P(x) → ¬Q(x))
Resposta
∀x (P(x) → ¬Q(x))
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: reflexiva
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
reflexiva
vale
simétrica
falha: (1, 3) ∈ R, (3, 1) ∉ R
antissimétrica
falha: (3, 4), (4, 3) ∈ R
transitiva
falha: (1, 3), (3, 2) ∈ R, (1, 2) ∉ R
Resposta
reflexiva
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: nenhuma das duas
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
f(2) = f(3) = c → não injetora
Sobrejetora?
a, d não recebem nenhuma seta → não sobrejetora
Resposta
nenhuma das duas
Resposta
nenhuma das duas
5.Teoria dos grafos
Resposta: k = 11
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Arestas de uma árvore geradora
16 − 1 = 15
Arestas a remover
k = 26 − 15 = 11
Resposta
k = 11
6.Teoria dos grafos
Resposta: aresta GD
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Algoritmo de Prim
1. BD (1)
2. GD (2)
3. DF (5)
4. EF (4)
5. AB (11)
6. BC (13)
número da aresta 2
GD
Resposta
aresta GD
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 23−1 mod 73 = 54
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·23 (mod 73).
r = 73, t = 0
r = 23, q = 3, t = 1
r = 4, q = 5, t = −3
r = 3, q = 1, t = 16
r = 1, q = 3, t = −19
Inversa
1 ≡ −19·23 (mod 73)
x = 54
verificação: 23·54 = 1242 = 17·73 + 1
Resposta
23−1 mod 73 = 54
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: d = 619
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.