Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a p ↔ q? Clique nela.
p ↔ q
1(p → q) ∨ (q → p)
2(p → q) ∧ (¬q → ¬p)
3p ∧ q
4(p → q) ∧ (q → p)
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
1∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Cada número no diagrama de Venn é o número de elementos dessa região. Encontre |(A ∩ B′) ∪ (A − B)|.
|U| = 51
|(A ∩ B′) ∪ (A − B)| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
Quantas funções sobrejetoras f: A → B existem se |A| = 5 e |B| = 3? Chame o número de N.
|A| = 5|B| = 3
N =
5.Teoria dos grafosMédia
O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.
|V| = 5|E| = 7
1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.
início: Afim: F
d(F) =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 7 módulo 86: o número x com 0 < x < 86 e 7·x ≡ 1 (mod 86).
a = 7n = 86
7−1 mod 86 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Quantas soluções N tem 22x ≡ 33 (mod 55) em {0, 1, …, 54}?
22x ≡ 33 (mod 55)
N =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: (p → q) ∧ (q → p)
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
a ↔ b significa que a implicação vale nos dois sentidos: (a → b) ∧ (b → a).
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Confira com a tabela-verdade
p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0: 0 | 1 0 0 0
p = 0, q = 1: 0 | 1 1 0 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 0 1
Resposta
(p → q) ∧ (q → p)
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |(A ∩ B′) ∪ (A − B)| = 4
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiões da expressão
A ∩ B′ ∩ C′: 1
A ∩ B′ ∩ C: 3
Somar
|(A ∩ B′) ∪ (A − B)| = 1 + 3 = 4
Resposta
|(A ∩ B′) ∪ (A − B)| = 4
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: N = 150
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Contar
N = C(3, 0)·35 − C(3, 1)·25 + C(3, 2)·15 = 150
Resposta
N = 150
5.Teoria dos grafos
Resposta: Caminho euleriano, sem circuito
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.
6.Teoria dos grafos
Resposta: d(F) = 21
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.
A (0): B: 15, C: 7
C (7): E: 20
B (15): D: 22, G: 24
E (20): F: 21
F (21)
D (22)
G (24)
Caminho mais curto
A → C → E → F
d(F) = 21
Resposta
d(F) = 21
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 7−1 mod 86 = 37
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·7 (mod 86).
r = 86, t = 0
r = 7, q = 12, t = 1
r = 2, q = 3, t = −12
r = 1, q = 2, t = 37
Inversa
1 ≡ 37·7 (mod 86)
x = 37
verificação: 7·37 = 259 = 3·86 + 1
Resposta
7−1 mod 86 = 37
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: N = 11
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).