Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Você quer demonstrar (p ∧ q) → r por contraposição. Qual implicação você demonstra em seu lugar? Clique nela.
(p ∧ q) → r
1r → (p ∧ q)
2¬r → ¬(p ∧ q)
3(p ∧ q) ∧ ¬r
4¬(p ∧ q) → ¬r
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
O argumento com premissas r → q; ¬r e conclusão ¬q é inválido. Clique na linha da tabela-verdade que é um contraexemplo.
r → q¬r∴ ¬q
1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
De 50 estudantes do primeiro ano, 25 foram aprovados em Matemática (M), 23 foram aprovados em Física (P) e 21 foram aprovados em Química (C). 3 foram aprovados em M e P, 10 foram aprovados em M e C, 8 foram aprovados em P e C, e 1 foram aprovados nas três. Quantos estão em nenhum dos três conjuntos?
|U| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
Uma relação de equivalência R em {1, …, 9} tem as classes {1, 5, 8}, {4, 6, 7, 9}, {2}, {3}. Quantos pares ordenados R contém? Chame o número de |R|.
{1, 5, 8}{4, 6, 7, 9}{2}{3}
|R| =
5.Teoria dos grafosMédia
Um grafo conexo tem 13 vértices e 22 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?
|V| = 13|E| = 22
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.
início: Afim: F
d(F) =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 11 módulo 19: o número x com 0 < x < 19 e 11·x ≡ 1 (mod 19).
a = 11n = 19
11−1 mod 19 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Use a elevação ao quadrado repetida para encontrar 3998 mod 94.
a = 39k = 98n = 94
3998 mod 94 =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬r → ¬(p ∧ q)
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes da implicação
a = p ∧ q, b = r
Contrapositiva
¬b → ¬a = ¬r → ¬(p ∧ q)
Resposta
¬r → ¬(p ∧ q)
A contrapositiva é equivalente à afirmação original, então demonstrá-la demonstra a afirmação.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: q = 1, r = 0
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Premissas e conclusão linha por linha
q = 1, r = 1: 1 0 | 0
q = 1, r = 0: 1 1 | 0
q = 0, r = 1: 0 0 | 1
q = 0, r = 0: 1 1 | 1
Contraexemplo
q = 1, r = 0
Resposta
q = 1, r = 0
Um argumento com essa forma parece uma regra válida, mas uma linha basta para mostrar que não é.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |(M ∪ P ∪ C)′| = 1
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e pares
M ∩ P ∩ C: 1
M ∩ P apenas: 3 − 1 = 2
M ∩ C apenas: 10 − 1 = 9
P ∩ C apenas: 8 − 1 = 7
Conjuntos individuais
M apenas: 25 − 2 − 9 − 1 = 13
P apenas: 23 − 2 − 7 − 1 = 13
C apenas: 21 − 9 − 7 − 1 = 4
Resposta
|M ∪ P ∪ C| = 49
|(M ∪ P ∪ C)′| = 50 − 49 = 1
Resposta
|(M ∪ P ∪ C)′| = 1
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |R| = 27
Relações: uma relação R num conjunto X é um conjunto de pares ordenados (x, y). R é reflexiva quando (x, x) ∈ R para todo x em X; simétrica quando (x, y) ∈ R sempre vem acompanhado de (y, x) ∈ R; antissimétrica quando (x, y) e (y, x) estão ambos em R somente se x = y; e transitiva quando (x, y) e (y, z) em R forçam (x, z) ∈ R. Uma relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva, e divide X em classes disjuntas.
Pares por classe
|R| = 3² + 4² + 1² + 1² = 27
Resposta
|R| = 27
5.Teoria dos grafos
Resposta: k = 10
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Arestas de uma árvore geradora
13 − 1 = 12
Arestas a remover
k = 22 − 12 = 10
Resposta
k = 10
6.Teoria dos grafos
Resposta: d(F) = 19
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.
A (0): C: 11
C (11): E: 26, G: 12
G (12): B: 23, D: 19, E: 18
E (18): F: 19
D (19)
F (19)
B (23)
Caminho mais curto
A → C → G → E → F
d(F) = 19
Resposta
d(F) = 19
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 11−1 mod 19 = 7
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·11 (mod 19).
r = 19, t = 0
r = 11, q = 1, t = 1
r = 8, q = 1, t = −1
r = 3, q = 2, t = 2
r = 2, q = 1, t = −5
r = 1, q = 2, t = 7
Inversa
1 ≡ 7·11 (mod 19)
x = 7
verificação: 11·7 = 77 = 4·19 + 1
Resposta
11−1 mod 19 = 7
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 3998 mod 94 = 25
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.