Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a c → a? Clique nela.
c → a
1a → c
2¬c ∧ a
3¬c → ¬a
4¬c ∨ a
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
O argumento com premissas r → q; q e conclusão r é inválido. Clique na linha da tabela-verdade que é um contraexemplo.
r → qq∴ r
1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Num grupo de 50 estudantes, 17 falam francês (F), 20 falam alemão (G) e 2 falam os dois. Quantos estão em exatamente um dos dois conjuntos?
|U| = 50|F| = 17|G| = 20|F ∩ G| = 2
|(F − G) ∪ (G − F)| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, c), (2, a), (3, a), (4, b)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.
|V| = 7|E| = 10
1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.
|V| = 7|E| = 10
W =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 40 módulo 71: o número x com 0 < x < 71 e 40·x ≡ 1 (mod 71).
a = 40n = 71
40−1 mod 71 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
41 é primo. Use o pequeno teorema de Fermat para encontrar 1926738 mod 41.
p = 41k = 26738
1926738 mod 41 =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬c ∨ a
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
a → b vale 0 somente quando a = 1 e b = 0, portanto é o mesmo que ¬a ∨ b.
c → a ≡ ¬c ∨ a
Confira com a tabela-verdade
a = 1, c = 1: 1 | 1 0 1 1
a = 1, c = 0: 1 | 0 1 0 1
a = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 0
a = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1
Resposta
¬c ∨ a
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: q = 1, r = 0
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Premissas e conclusão linha por linha
q = 1, r = 1: 1 1 | 1
q = 1, r = 0: 1 1 | 0
q = 0, r = 1: 0 0 | 1
q = 0, r = 0: 1 0 | 0
Contraexemplo
q = 1, r = 0
Resposta
q = 1, r = 0
Um argumento com essa forma parece uma regra válida, mas uma linha basta para mostrar que não é.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |(F − G) ∪ (G − F)| = 33
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiões
F ∩ G: 2
F − G: 17 − 2 = 15
G − F: 20 − 2 = 18
(F ∪ G)′: 50 − (15 + 18 + 2) = 15
Resposta
|(F − G) ∪ (G − F)| = 33
Resposta
|(F − G) ∪ (G − F)| = 33
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: sobrejetora, não injetora
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
f(2) = f(3) = a → não injetora
Sobrejetora?
todo elemento de B é atingido → sobrejetora
Resposta
sobrejetora, não injetora
Resposta
sobrejetora, não injetora
5.Teoria dos grafos
Resposta: nenhuma das duas
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Algoritmo de Kruskal
GB (1): tomar
GD (2): tomar
GE (3): tomar
DE (5): descartar, fecha um ciclo
BC (7): tomar
CE (9): descartar, fecha um ciclo
EF (12): tomar
DF (14): descartar, fecha um ciclo
AC (15): tomar
Peso total
W = 1 + 2 + 3 + 7 + 12 + 15 = 40
Resposta
W = 40
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 40−1 mod 71 = 16
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·40 (mod 71).
r = 71, t = 0
r = 40, q = 1, t = 1
r = 31, q = 1, t = −1
r = 9, q = 3, t = 2
r = 4, q = 2, t = −7
r = 1, q = 4, t = 16
Inversa
1 ≡ 16·40 (mod 71)
x = 16
verificação: 40·16 = 640 = 9·71 + 1
Resposta
40−1 mod 71 = 16
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 1926738 mod 41 = 36
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.