Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a q ↔ r? Clique nela.
q ↔ r
1(q → r) ∨ (r → q)
2(q → r) ∧ (¬r → ¬q)
3q ∧ r
4(q → r) ∧ (r → q)
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Quantas das 16 linhas da tabela-verdade tornam ¬((c ∨ a) ∨ d) ∨ ¬(¬(d ∧ ¬a) ↔ (b → c)) verdadeira? Chame esse número de N.
¬((c ∨ a) ∨ d) ∨ ¬(¬(d ∧ ¬a) ↔ (b → c))
N =
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Num grupo de 65 estudantes, 36 falam francês (F), 26 falam alemão (G) e 34 falam espanhol (S). 9 falam francês e alemão, 17 francês e espanhol, 16 alemão e espanhol, e 4 falam os três. Quantos estão em nenhum dos três conjuntos?
|U| = 65
|(F ∪ G ∪ S)′| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2} e B = {a, b, c}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, b), (2, a)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.
|V| = 5|E| = 5
1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.
|V| = 5|E| = 7
W =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Resolva 23x ≡ 29 (mod 75). Dê a solução x com 0 < x < 75.
23x ≡ 29 (mod 75)
x =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
61 é primo. Use o pequeno teorema de Fermat para encontrar 2935951 mod 61.
p = 61k = 35951
2935951 mod 61 =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: (q → r) ∧ (r → q)
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
a ↔ b significa que a implicação vale nos dois sentidos: (a → b) ∧ (b → a).
q ↔ r ≡ (q → r) ∧ (r → q)
Confira com a tabela-verdade
q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
q = 1, r = 0: 0 | 1 0 0 0
q = 0, r = 1: 0 | 1 1 0 0
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 1
Resposta
(q → r) ∧ (r → q)
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: N = 7
Tabelas-verdade: uma fórmula com n variáveis diferentes tem 2ⁿ linhas, uma para cada combinação de valores lógicos (1 = verdadeiro, 0 = falso). Trabalhe de dentro para fora e dê a cada subfórmula a sua própria coluna. ¬a inverte o valor; a ∧ b vale 1 somente quando ambos valem 1; a ∨ b vale 0 somente quando ambos valem 0; a → b vale 0 somente quando a = 1 e b = 0; a ↔ b vale 1 quando os dois lados são iguais.
Colunas
c ∨ a; (c ∨ a) ∨ d; ¬((c ∨ a) ∨ d); ¬a; d ∧ ¬a; ¬(d ∧ ¬a); b → c; ¬(d ∧ ¬a) ↔ (b → c); ¬(¬(d ∧ ¬a) ↔ (b → c)); ¬((c ∨ a) ∨ d) ∨ ¬(¬(d ∧ ¬a) ↔ (b → c))
Divida em a
a = 1: 2
a = 0: 5
N = 2 + 5 = 7
Resposta
N = 7
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |(F ∪ G ∪ S)′| = 7
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centro e pares
F ∩ G ∩ S: 4
F ∩ G apenas: 9 − 4 = 5
F ∩ S apenas: 17 − 4 = 13
G ∩ S apenas: 16 − 4 = 12
Conjuntos individuais
F apenas: 36 − 5 − 13 − 4 = 14
G apenas: 26 − 5 − 12 − 4 = 5
S apenas: 34 − 13 − 12 − 4 = 5
Resposta
|F ∪ G ∪ S| = 58
|(F ∪ G ∪ S)′| = 65 − 58 = 7
Resposta
|(F ∪ G ∪ S)′| = 7
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: injetora, não sobrejetora
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
todo elemento de B é atingido no máximo uma vez → injetora
Sobrejetora?
c não recebe seta → não sobrejetora
Resposta
injetora, não sobrejetora
Resposta
injetora, não sobrejetora
5.Teoria dos grafos
Resposta: Caminho euleriano, sem circuito
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.
6.Teoria dos grafos
Resposta: W = 15
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Algoritmo de Kruskal
DE (1): tomar
CE (2): tomar
BE (4): tomar
BD (6): descartar, fecha um ciclo
AB (8): tomar
Peso total
W = 1 + 2 + 4 + 8 = 15
Resposta
W = 15
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: x = 73
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 23
r = 75, t = 0
r = 23, q = 3, t = 1
r = 6, q = 3, t = −3
r = 5, q = 1, t = 10
r = 1, q = 5, t = −13
23−1 ≡ 62 (mod 75)
Resolva
x ≡ 62·29 = 1798 ≡ 73 (mod 75)
verificação: 23·73 = 1679 ≡ 29 (mod 75)
Resposta
x = 73
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 2935951 mod 61 = 40
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.