Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Você quer demonstrar ¬r → q por absurdo. Qual afirmação você supõe no início? Clique nela.
¬r → q
1¬r ∧ ¬q
2¬¬r → ¬q
3¬¬r ∧ ¬q
4¬¬r ∧ q
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
Qual afirmação é equivalente a ¬∀x (A(x) → B(x)), com a negação movida totalmente para dentro? Clique nela.
¬∀x (A(x) → B(x))
1∀x (A(x) → ¬B(x))
2∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (¬A(x) ∧ B(x))
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Num grupo de 66 estudantes, 41 falam francês (F), 29 falam alemão (G) e 13 falam os dois. Quantos estão em pelo menos um dos dois conjuntos?
|U| = 66|F| = 41|G| = 29|F ∩ G| = 13
|F ∪ G| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, a), (2, b), (3, b)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?
2 × deg 3
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.
início: Afim: F
d(F) =
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o inverso de 10 módulo 29: o número x com 0 < x < 29 e 10·x ≡ 1 (mod 29).
a = 10n = 29
10−1 mod 29 =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
11 é primo. Use o pequeno teorema de Fermat para encontrar 245744 mod 11.
p = 11k = 45744
245744 mod 11 =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬r ∧ ¬q
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Partes da implicação
a = ¬r, b = q
Negação da implicação
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬r ∧ ¬q
Resposta
¬r ∧ ¬q
Se a suposição leva a uma contradição, a implicação deve ser verdadeira.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Mova a negação para dentro
¬∀x (A(x) → B(x)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
Resposta
∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
As outras alternativas mantêm um quantificador inalterado, mudam a ordem dos quantificadores ou negam a fórmula interna de forma errada.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |F ∪ G| = 57
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiões
F ∩ G: 13
F − G: 41 − 13 = 28
G − F: 29 − 13 = 16
(F ∪ G)′: 66 − (28 + 16 + 13) = 9
Resposta
|F ∪ G| = 57
Resposta
|F ∪ G| = 57
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: nenhuma das duas
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
f(2) = f(3) = b → não injetora
Sobrejetora?
c, d não recebem nenhuma seta → não sobrejetora
Resposta
nenhuma das duas
Resposta
nenhuma das duas
5.Teoria dos grafos
Resposta: L = 4
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Lema do aperto de mãos para uma árvore
L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4
Resposta
L = 4
Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.
6.Teoria dos grafos
Resposta: d(F) = 26
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.
A (0): B: 12, C: 14
B (12): D: 14, E: 24
C (14): E: 18
D (14)
E (18): F: 26
F (26)
Caminho mais curto
A → C → E → F
d(F) = 26
Resposta
d(F) = 26
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 10−1 mod 29 = 3
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Algoritmo de Euclides estendido
Cada resto r é escrito como r ≡ t·10 (mod 29).
r = 29, t = 0
r = 10, q = 2, t = 1
r = 9, q = 1, t = −2
r = 1, q = 9, t = 3
Inversa
1 ≡ 3·10 (mod 29)
x = 3
verificação: 10·3 = 30 = 1·29 + 1
Resposta
10−1 mod 29 = 3
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 245744 mod 11 = 5
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.