Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a ¬(c ∨ b)? Clique nela.
¬(c ∨ b)
1¬c ∧ ¬b
2c ∨ ¬b
3¬c ∨ ¬b
4¬c ∧ b
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
O argumento com premissas q ∨ p; q e conclusão ¬p é inválido. Clique na linha da tabela-verdade que é um contraexemplo.
q ∨ pq∴ ¬p
1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Exatamente uma região do diagrama de Venn é o conjunto (B ∪ C) − (B ∪ A). Clique no seu número.
(B ∪ C) − (B ∪ A)
1região 1
2região 2
3região 3
4região 4
5região 5
6região 6
7região 7
8região 8
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c, d, e}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, e), (2, d), (3, a)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
Um grafo conexo tem 9 vértices e 18 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?
|V| = 9|E| = 18
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.
início: Arodada 4
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Resolva 49x ≡ 28 (mod 75). Dê a solução x com 0 < x < 75.
49x ≡ 28 (mod 75)
x =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Uma chave RSA usa p = 37, q = 47 e e = 19. Decifre o texto cifrado c = 926: encontre a mensagem m.
p = 37q = 47e = 19c = 926
m =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: ¬c ∧ ¬b
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
De Morgan: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. O ∨ vira ∧ e as duas partes são negadas.
¬(c ∨ b) ≡ ¬c ∧ ¬b
Confira com a tabela-verdade
b = 1, c = 1: 0 | 0 1 0 0
b = 1, c = 0: 0 | 0 0 1 1
b = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 0
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0
Resposta
¬c ∧ ¬b
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: p = 1, q = 1
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Premissas e conclusão linha por linha
p = 1, q = 1: 1 1 | 0
p = 1, q = 0: 1 0 | 0
p = 0, q = 1: 1 1 | 1
p = 0, q = 0: 0 0 | 1
Contraexemplo
p = 1, q = 1
Resposta
p = 1, q = 1
Um argumento com essa forma parece uma regra válida, mas uma linha basta para mostrar que não é.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: região 5
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Dentro ou fora de cada conjunto
A′ ∩ B′ ∩ C
A região
região 5
Resposta
região 5
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: injetora, não sobrejetora
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
todo elemento de B é atingido no máximo uma vez → injetora
Sobrejetora?
b, c não recebem nenhuma seta → não sobrejetora
Resposta
injetora, não sobrejetora
Resposta
injetora, não sobrejetora
5.Teoria dos grafos
Resposta: k = 10
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Arestas de uma árvore geradora
9 − 1 = 8
Arestas a remover
k = 18 − 8 = 10
Resposta
k = 10
6.Teoria dos grafos
Resposta: E
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
1. A (0): B: 1, C: 2
2. B (1): D: 12, E: 10
3. C (2)
4. E (10): F: 23
5. D (12): F: 20
6. F (20)
rodada 4
E
Resposta
E
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: x = 22
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Inverso de 49
r = 75, t = 0
r = 49, q = 1, t = 1
r = 26, q = 1, t = −1
r = 23, q = 1, t = 2
r = 3, q = 7, t = −3
r = 2, q = 1, t = 23
r = 1, q = 2, t = −26
49−1 ≡ 49 (mod 75)
Resolva
x ≡ 49·28 = 1372 ≡ 22 (mod 75)
verificação: 49·22 = 1078 ≡ 28 (mod 75)
Resposta
x = 22
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: m = 630
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.