Desenhe um diagrama de Venn e decida, região por região, o que pertence à expressão de conjuntos.
Em problemas de contagem, preencha as regiões do centro para fora: todos os conjuntos, depois os pares, depois cada conjunto sozinho e por fim a parte de fora.
Use a inclusão–exclusão como verificação: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Para uma relação, teste cada propriedade em todos os pares e dê um contraexemplo quando ela falhar.
Para uma função, conte as setas que chegam a cada elemento de B: no máximo uma significa injetora, pelo menos uma significa sobrejetora.
Teoria dos grafos
Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij
Método
Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).
Teoria dos números e aritmética modular
Divisão com resto
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euclides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mínimo múltiplo comum
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Inversa
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Congruência linear
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Função totiente de Euler
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Método
Reduza antes todos os números módulo n; os restos ficam entre 0 e n − 1.
Para um mdc, divida repetidamente com o algoritmo de Euclides; o último resto não nulo é o mdc.
Para um inverso, execute o algoritmo estendido e guarde o coeficiente de a; some n se ele for negativo.
Resolva a·x ≡ b multiplicando por a⁻¹; combine duas congruências escrevendo x = r₁ + m₁k.
Para potências, escreva o expoente em binário e eleve ao quadrado repetidamente; no RSA, d = e⁻¹ mod φ(n) com φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Exercícios
1.Lógica proposicional e demonstraçõesMédia
Qual fórmula é logicamente equivalente a ¬(p ↔ q)? Clique nela.
¬(p ↔ q)
1p ↔ ¬q
2¬p ∨ ¬q
3¬p ↔ ¬q
4p ∧ ¬q
2.Lógica proposicional e demonstraçõesDifícil
O argumento com premissas c → b; b e conclusão c é inválido. Clique na linha da tabela-verdade que é um contraexemplo.
c → bb∴ c
1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0
3.Conjuntos, relações e funçõesMédia
Num grupo de 46 estudantes, 30 falam francês (F), 15 falam alemão (G) e 9 falam os dois. Quantos estão em pelo menos um dos dois conjuntos?
|U| = 46|F| = 30|G| = 15|F ∩ G| = 9
|F ∪ G| =
4.Conjuntos, relações e funçõesDifícil
O diagrama de setas mostra uma função f: A → B com A = {1, 2, 3} e B = {a, b}. Clique na descrição que se aplica a f.
f = {(1, b), (2, b), (3, a)}
1injetora, não sobrejetora
2sobrejetora, não injetora
3bijetora
4nenhuma das duas
5.Teoria dos grafosMédia
Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?
2 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.
início: Arodada 6
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7G
7.Teoria dos números e aritmética modularMédia
Encontre o menor inteiro positivo x com x ≡ 8 (mod 12) e x ≡ 2 (mod 13).
x ≡ 8 (mod 12)x ≡ 2 (mod 13)
x =
8.Teoria dos números e aritmética modularDifícil
Use a elevação ao quadrado repetida para encontrar 8139 mod 37.
a = 8k = 139n = 37
8139 mod 37 =
3Soluções
1.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: p ↔ ¬q
Equivalência lógica: duas fórmulas são equivalentes (≡) quando têm o mesmo valor em todas as linhas da tabela-verdade. Uma tautologia vale 1 em todas as linhas, uma contradição vale 0 em todas as linhas, e uma contingência não é nenhuma das duas. Leis úteis: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b e ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (contrapositiva); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; e as leis distributivas, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
A lei
¬(a ↔ b) vale 1 exatamente quando a e b diferem, o que é a ↔ ¬b.
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q
Confira com a tabela-verdade
p = 1, q = 1: 0 | 0 0 1 0
p = 1, q = 0: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 1: 1 | 1 1 0 0
p = 0, q = 0: 0 | 0 1 1 0
Resposta
p ↔ ¬q
As colunas depois da barra são as alternativas na ordem mostrada.
2.Lógica proposicional e demonstrações
Resposta: b = 1, c = 0
Quantificadores e argumentos: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Mova a negação para dentro, troque todo quantificador que ela atravessa e negue a fórmula interna com as leis proposicionais, como ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Um argumento é válido quando a conclusão vale 1 em toda linha em que todas as premissas valem 1. Uma única linha com premissas verdadeiras e conclusão falsa é um contraexemplo e mostra que o argumento é inválido.
Premissas e conclusão linha por linha
b = 1, c = 1: 1 1 | 1
b = 1, c = 0: 1 1 | 0
b = 0, c = 1: 0 0 | 1
b = 0, c = 0: 1 0 | 0
Contraexemplo
b = 1, c = 0
Resposta
b = 1, c = 0
Um argumento com essa forma parece uma regra válida, mas uma linha basta para mostrar que não é.
3.Conjuntos, relações e funções
Resposta: |F ∪ G| = 36
Conjuntos e diagramas de Venn: A ∪ B contém os elementos que estão em A ou B (ou ambos), A ∩ B os elementos que estão em ambos, A − B os elementos de A que não estão em B, e o complemento A′ tudo em U que não está em A. Num diagrama de Venn toda expressão de conjuntos é uma união de regiões, então conte-a região por região. Inclusão–exclusão: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, e |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Regiões
F ∩ G: 9
F − G: 30 − 9 = 21
G − F: 15 − 9 = 6
(F ∪ G)′: 46 − (21 + 6 + 9) = 10
Resposta
|F ∪ G| = 36
Resposta
|F ∪ G| = 36
4.Conjuntos, relações e funções
Resposta: sobrejetora, não injetora
Funções e contagem: uma função f: A → B dá a cada elemento de A exatamente uma imagem em B. f é injetora quando elementos diferentes têm imagens diferentes, sobrejetora quando todo elemento de B é uma imagem, e bijetora quando ambas as condições valem. Com |A| = m e |B| = n há nᵐ funções, n!/(n − m)! injetoras (m ≤ n) e, por inclusão–exclusão, Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ sobrejetoras. |𝒫(A)| = 2ᵐ e |A × B| = m·n.
Injetora?
f(1) = f(2) = b → não injetora
Sobrejetora?
todo elemento de B é atingido → sobrejetora
Resposta
sobrejetora, não injetora
Resposta
sobrejetora, não injetora
5.Teoria dos grafos
Resposta: L = 17
Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.
Lema do aperto de mãos para uma árvore
L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17
Resposta
L = 17
Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.
6.Teoria dos grafos
Resposta: D
Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.
Dijkstra rodada por rodada
1. A (0): B: 8, C: 9
2. B (8): G: 16
3. C (9)
4. G (16): D: 23, E: 17
5. E (17): F: 28
6. D (23)
7. F (28)
rodada 6
D
Resposta
D
7.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: x = 80
Inversos e congruências: a tem inverso módulo n exatamente quando mdc(a, n) = 1. O algoritmo de Euclides estendido escreve 1 = s·n + t·a, e então a⁻¹ ≡ t (mod n). Uma congruência a·x ≡ b (mod n) com mdc(a, n) = 1 tem a solução x ≡ a⁻¹·b. Duas congruências x ≡ r₁ (mod m₁) e x ≡ r₂ (mod m₂) com módulos coprimos têm uma solução módulo m₁·m₂ (teorema chinês do resto). O φ(n) de Euler conta os números de 1 a n que são coprimos com n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Primeira congruência
x = 8 + 12k
Segunda congruência
8 + 12k ≡ 2 (mod 13) → 12k ≡ 7 (mod 13)
k ≡ 12·7 ≡ 6 (mod 13)
Resultado
x = 8 + 12·6 = 80
x = 80
verificação: 80 mod 12 = 8, 80 mod 13 = 2
Resposta
x = 80
8.Teoria dos números e aritmética modular
Resposta: 8139 mod 37 = 29
Potências modulares e RSA: calcule aᵏ mod n por elevação ao quadrado repetida: escreva k em binário, eleve ao quadrado, reduza a cada passo e multiplique as potências cujo bit é 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) para um primo p que não divide a, então o expoente pode ser reduzido módulo p − 1. RSA: escolha primos p e q, n = p·q e φ(n) = (p − 1)(q − 1); o expoente público e é coprimo com φ(n), e o expoente privado é d = e⁻¹ mod φ(n). Cifre com c = mᵉ mod n e decifre com m = cᵈ mod n.