Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 36 km/h freia com desaceleração constante de 6 m/s² até parar. Quanto tempo dura a frenagem? Calcule t.
A bola A é solta do repouso de uma altura de 45 m. No mesmo instante a bola B é lançada verticalmente para cima a partir do chão, logo abaixo, a 18 m/s. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quando as bolas se encontram? Encontre t.
Um trenó de 25 kg é puxado sobre neve plana por uma corda a 35° acima da horizontal com uma força de 180 N. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a do trenó.
Um bloco de 1,5 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 2 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 60° acima da horizontal e cai a 35 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade de lançamento v0.
Uma bola é lançada a 45° acima da horizontal do topo de um penhasco de 20 m. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Um carro faz uma curva plana de raio 60 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,4. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Uma bola de 2 kg presa a um fio leve de 0,8 m é girada em um círculo vertical. No ponto mais baixo sua velocidade é 8,5 m/s. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a tração Ttop no fio no ponto mais alto.
Um carro a 50 km/h em uma estrada plana freia bruscamente e derrapa até parar com as rodas travadas. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,8. Encontre a distância de frenagem d.
Uma mola de rigidez 2000 N/m na base de uma rampa de 15° é comprimida 20 cm contra um bloco de 0,5 kg e solta. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,2. Que distância d rampa acima o bloco percorre a partir do ponto de soltura antes de parar? (Despreze a curta distância em que a mola empurra, ou seja, considere o atrito e a gravidade ao longo de toda a distância d.)
Um carro de 500 kg a 21 m/s colide com um carro parado de 800 kg e os dois ficam presos um ao outro. Quanta energia cinética ΔK é perdida na colisão?
Um carro de 1000 kg colide com um carro estacionado de 1800 kg. Os destroços ficam presos um ao outro e derrapam 13,5 m antes de parar. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,75. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v1 do primeiro carro logo antes da colisão.
Um volante com momento de inércia de 37,5 kg·m² gira a 2200 rpm. Um freio aplica um torque de atrito constante de 100 N·m. Quantas voltas N o volante dá antes de parar?
Uma barra esbelta uniforme de massa 10 kg e comprimento 1,4 m pende em repouso de um pivô sem atrito na sua extremidade superior. Um projétil de 25 g que se move horizontalmente a 600 m/s atinge a barra 1,06 m abaixo do pivô e fica cravado nela. Encontre a velocidade angular ω da barra logo após o impacto.
Dois eixos paralelos estão a 67,5 mm de distância. Eles devem ser ligados por um par de engrenagens de dentes retos com módulo de 3 mm e redução de 2 : 1. Quantos dentes N1 o pinhão deve ter?
Em um trem de engrenagens planetário a engrenagem solar tem 30 dentes e cada satélite tem 12 dentes. O porta-satélites é mantido fixo e a solar é acionada a 1200 rpm. Encontre a rotação nr da coroa (em módulo).
Uma massa de 2,6 kg presa a uma mola com k = 120 N/m é puxada 8 cm no sentido positivo e solta do repouso em t = 0. Encontre seu deslocamento x a partir do equilíbrio em t = 0,55 s (com sinal).
Uma massa de 3,9 kg presa a uma mola com k = 150 N/m é deslocada 9 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule a energia total E da oscilação.
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 50 mm é seguido, 5 ciclos depois, por um pico de 2,1 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 50 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 40 kN/m e k₂ = 40 kN/m. A massa permanece nivelada. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: t = 1,667 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: t = 2,5 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Para cima é positivo, o chão é y = 0.
Resposta: a = 5,33 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: T = 10,51 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: v0 = 19,91 m/s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Resposta: t = 4,508 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
Resposta: vmax = 15,34 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: Ttop = 82,52 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Energia cinética é trocada por energia potencial ao longo de uma altura 2r.
Tração e gravidade apontam ambas para baixo, em direção ao centro.
Resposta: d = 12,29 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Dobrar a velocidade torna a distância de frenagem quatro vezes maior.
Resposta: d = 18,04 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: ΔK = 67846 J
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
A energia perdida vira deformação, calor e som.
Resposta: v1 = 39,46 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: N = 1584 rev
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: ω = 2,423 rad/s
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
A força do pivô passa pelo pivô, então não tem momento ali durante o impacto.
Resposta: N1 = 15
Geometria de engrenagens: o módulo m define o tamanho do dente. Uma engrenagem com N dentes tem diâmetro primitivo d = m·N, duas engrenagens acopladas têm o mesmo módulo, e a distância entre centros é a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. A velocidade tangencial no diâmetro primitivo é v = π·d·n/60, e a força tangencial no dente vem do torque: Ft = 2T/d.
Resposta: nr = 666,7 rpm
Trens de engrenagens planetários: as rotações da solar, da coroa e do porta-satélites estão ligadas pela equação de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: visto do porta-satélites, o conjunto é um trem comum com os satélites como engrenagens intermediárias. Manter um membro fixo transforma o conjunto em um redutor de relação única.
Com nc = 0 a solar aciona a coroa através dos satélites, que funcionam como engrenagens intermediárias.
A coroa gira no sentido oposto ao da solar.
Resposta: x = −6,626 cm
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: E = 0,6075 J
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,1004
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: keq = 80 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
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