Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 90 km/h freia com desaceleração constante de 7 m/s² até parar. Calcule a distância de frenagem s.
A bola A é solta do repouso de uma altura de 25 m. No mesmo instante a bola B é lançada verticalmente para cima a partir do chão, logo abaixo, a 30 m/s. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que altura y acima do chão elas se encontram?
Uma caixa de 45 kg é empurrada rampa acima, inclinada a 40° em relação à horizontal, com velocidade constante, por uma força paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força de empurrão F.
Um bloco recebe um empurrão e começa a subir uma rampa a 15° com velocidade de 7 m/s. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Que distância d ao longo da rampa ele desliza antes de parar?
Uma bola é chutada a partir do chão plano a 26 m/s e 40° acima da horizontal em direção a um muro a 48 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que altura y a bola passa pelo muro?
Uma bola é lançada a 35 m/s e 50° acima da horizontal do alto de um penhasco de 35 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Um carro faz uma curva plana de raio 60 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,7. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Uma bola de 1 kg presa a um fio de 1,3 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 9 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um carro a 100 km/h em uma estrada plana freia bruscamente e derrapa até parar com as rodas travadas. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,8. Encontre a distância de frenagem d.
Uma mola de rigidez 3000 N/m na base de uma rampa de 40° é comprimida 12 cm contra um bloco de 3 kg e solta. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,2. Que distância d rampa acima o bloco percorre a partir do ponto de soltura antes de parar? (Despreze a curta distância em que a mola empurra, ou seja, considere o atrito e a gravidade ao longo de toda a distância d.)
Um projétil de 20 kg que se move horizontalmente a 13 m/s explode em dois fragmentos que se movem ao longo da mesma reta. O fragmento de 12 kg continua para a frente a 40 m/s. Encontre a velocidade v′2 do fragmento de 8 kg (positiva no sentido original).
Uma bola de 0,55 kg atinge uma parede a 22 m/s e volta em linha reta a 19 m/s. O contato dura 5 ms. Calcule o módulo do impulso J que a parede aplica à bola.
Um volante com momento de inércia de 13 kg·m² gira a 300 rpm. Um freio aplica um torque de atrito constante de 70 N·m. Quantas voltas N o volante dá antes de parar?
Uma pessoa está em uma plataforma giratória sem atrito e segura um haltere de 5 kg em cada mão, a 0,6 m do eixo. A pessoa e a plataforma sozinhas têm momento de inércia de 3 kg·m² em relação ao eixo. Elas giram a 60 rpm e então puxam os halteres para 0,3 m do eixo. Trate os halteres como massas pontuais. Encontre a nova velocidade n2 em rpm.
Dois eixos paralelos estão a 240 mm de distância. Eles devem ser ligados por um par de engrenagens de dentes retos com módulo de 4 mm e redução de 4 : 1. Quantos dentes N2 a engrenagem deve ter?
Em um trem de engrenagens composto, a engrenagem A (24 dentes), no eixo de entrada girando a 2900 rpm, aciona a engrenagem B (45 dentes). A engrenagem C (72 dentes) está fixada no mesmo eixo que B e aciona a engrenagem D (80 dentes) no eixo de saída. Calcule a rotação de saída nout.
Um pêndulo simples tem comprimento de 2,8 m. Use g = 9,81 m/s². Calcule seu período T para pequenas oscilações.
Uma massa de 3,1 kg presa a uma mola com k = 430 N/m é deslocada 4 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule a energia total E da oscilação.
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 15 mm é seguido, 2 ciclos depois, por um pico de 3,3 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 10 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 12 kN/m e a inferior k₂ = 40 kN/m. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: s = 44,64 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: y = 21,59 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Para cima é positivo, o chão é y = 0.
Resposta: F = 317,6 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Velocidade constante: as forças se equilibram.
Resposta: d = 4,552 m
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
As duas forças apontam rampa abaixo; a massa se cancela.
Resposta: y = 11,79 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
No muro a bola já está descendo.
Resposta: H = 71,64 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Resposta: vmax = 20,3 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: T = 72,12 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: d = 49,16 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Dobrar a velocidade torna a distância de frenagem quatro vezes maior.
Resposta: d = 0,922 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′2 = −27,5 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
O sinal de menos significa que o segundo fragmento voa para trás.
Resposta: J = 22,55 N·s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: N = 14,59 rev
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: n2 = 101,5 rpm
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
A energia cinética aumenta: a energia extra vem do trabalho que a pessoa realiza ao puxar os halteres.
Resposta: N2 = 96
Geometria de engrenagens: o módulo m define o tamanho do dente. Uma engrenagem com N dentes tem diâmetro primitivo d = m·N, duas engrenagens acopladas têm o mesmo módulo, e a distância entre centros é a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. A velocidade tangencial no diâmetro primitivo é v = π·d·n/60, e a força tangencial no dente vem do torque: Ft = 2T/d.
Resposta: nout = 1392 rpm
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
relação total = 2,083 : 1
Resposta: T = 3,357 s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: E = 0,344 J
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,1196
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: keq = 9,231 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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