Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 50 km/h freia com desaceleração constante de 6,5 m/s² até parar. Calcule a distância de frenagem s.
Um bonde parte do repouso e acelera a 1,5 m/s² durante 9 s, depois anda com velocidade constante durante 16 s e por fim freia a 5 m/s² até parar. Encontre a distância total s entre as duas paradas.
Uma caixa desliza sobre um piso horizontal com velocidade inicial de 3,5 m/s e para após 2,5 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre o coeficiente de atrito cinético μ.
Um bloco de 9 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 6 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,2. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio.
Uma bola é chutada a partir do chão plano a 20 m/s e 70° acima da horizontal em direção a um muro a 5 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que altura y a bola passa pelo muro?
Uma bola é lançada a 25 m/s e 60° acima da horizontal do alto de um penhasco de 45 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v com que ela atinge o chão.
Em um rotor de parque de diversões, as pessoas ficam encostadas na parede de um cilindro vertical de raio 2,7 m. Quando ele gira rápido o bastante, o piso desce e o atrito as segura. O coeficiente de atrito estático é 0,4. Use g = 9,81 m/s². Encontre a menor velocidade angular ω em rad/s.
Uma bola de 1,6 kg presa a um fio de 1 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 3,5 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um bloco desliza a partir do repouso por uma rampa a 40° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Encontre sua velocidade v depois de deslizar 18 m ao longo da rampa.
Um bloco de 4 kg é solto do repouso na altura 2,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 2 m (μ = 0,1) e depois encontra uma mola (k = 1000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Um carrinho de 0,5 kg a 11 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 4,5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′1 do primeiro carrinho após a colisão (positiva no seu sentido original).
Uma bola de 0,6 kg atinge uma parede a 14 m/s e volta em linha reta a 13 m/s. O contato dura 40 ms. Calcule a força média Favg da parede sobre a bola.
Um volante com momento de inércia de 23 kg·m² gira a 700 rpm. Um freio aplica um torque de atrito constante de 60 N·m. Quanto tempo t ele leva para parar?
Uma barra esbelta uniforme de massa 9,5 kg e comprimento 1,6 m pende em repouso de um pivô sem atrito na sua extremidade superior. Um projétil de 5 g que se move horizontalmente a 560 m/s atinge a barra 0,69 m abaixo do pivô e fica cravado nela. Encontre a velocidade angular ω da barra logo após o impacto.
Um motor de 4 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 15 dentes, que engrena com uma engrenagem de 20 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 95%. Calcule o torque de saída T2 no eixo da engrenagem.
Um motor de 7,5 kW a 2900 rpm aciona a engrenagem A (15 dentes), que engrena com a engrenagem B (72 dentes). A engrenagem C (20 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (36 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 95%. Encontre o torque de saída Tout.
Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para ter período de 2,5 s? Use g = 9,81 m/s². Calcule L.
Uma massa presa a uma mola com k = 280 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 12 cm. Encontre a energia U armazenada na mola quando a massa está a 3 cm do equilíbrio.
Uma massa de 15 kg sobre uma mola com rigidez de 10 kN/m tem um amortecedor viscoso que dá um fator de amortecimento de 0,7. Encontre a frequência natural amortecida fd da sua vibração livre em Hz.
Uma massa de 5 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 20 kN/m e a inferior k₂ = 80 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: s = 14,84 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: s = 295 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: μ = 0,2497
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: T = 42,38 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: y = 11,12 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
No muro a bola ainda está subindo.
Resposta: v = 38,83 m/s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Energia, ou v² = v₀² + 2as na direção vertical.
Verificação pela energia: v² = v₀² + 2gh.
Resposta: ω = 3,014 rad/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: T = 35,3 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: v = 12,08 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
O bloco desce uma altura d·sin θ enquanto o atrito remove μmg·cos θ·d. A massa se cancela.
Resposta: x = 42,49 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: v′1 = −8,8 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
O sinal negativo significa que o primeiro carrinho volta para trás.
Resposta: Favg = 405 N
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: t = 28,1 s
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
Resposta: ω = 0,2383 rad/s
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
A força do pivô passa pelo pivô, então não tem momento ali durante o impacto.
Resposta: T2 = 33,37 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: Tout = 192,6 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: L = 1,553 m
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: U = 0,126 J
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: fd = 2,935 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 9,003 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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