Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 100 km/h freia com desaceleração constante de 8 m/s² até parar. Quanto tempo dura a frenagem? Calcule t.
Um foguete-modelo é lançado verticalmente para cima a partir do repouso. Seu motor lhe dá uma aceleração constante para cima de 26 m/s² durante 1 s, depois disso o motor desliga e o foguete se move livremente. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quanto tempo após o lançamento ele atinge o chão? Encontre t.
Uma caixa de 50 kg é empurrada rampa acima, inclinada a 15° em relação à horizontal, com velocidade constante, por uma força paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força de empurrão F.
Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 30 N puxa o bloco da frente, de 7 kg; o bloco de 5 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,15 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a dos blocos.
Uma bola é chutada a partir do chão plano a 24 m/s e 40° acima da horizontal em direção a um muro a 23 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que altura y a bola passa pelo muro?
Uma bola é lançada do nível do chão a 34 m/s e 65° acima da horizontal. Ela cai no telhado plano de um prédio de 15 m de altura, já descendo. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a distância horizontal x do ponto de lançamento até onde ela cai.
Um carro faz uma curva plana de raio 55 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,5. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Um carrinho de 5 kg é solto do repouso a uma altura de 9,8 m em um trilho sem atrito e passa por um loop vertical de raio 2 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força normal Nbottom do trilho sobre o carrinho na base do loop.
Um bloco desliza a partir do repouso por uma rampa a 45° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,25. Encontre sua velocidade v depois de deslizar 20 m ao longo da rampa.
Um bloco de 8 kg parte do repouso na base de uma rampa de 35° e é puxado rampa acima por uma força constante de 110 N paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,15. Encontre a velocidade v do bloco depois de ele subir 10 m pela rampa.
Um projétil de 16 kg que se move horizontalmente a 14 m/s explode em dois fragmentos que se movem ao longo da mesma reta. O fragmento de 2 kg continua para a frente a 62 m/s. Encontre a velocidade v′2 do fragmento de 14 kg (positiva no sentido original).
Uma bola de 0,15 kg atinge uma parede a 11 m/s e volta em linha reta a 6 m/s. O contato dura 5 ms. Calcule a força média Favg da parede sobre a bola.
Uma barra esbelta uniforme de massa 8 kg e comprimento 0,5 m está articulada em uma extremidade e é solta do repouso na posição horizontal. Despreze o atrito e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade angular ω da barra ao passar pela posição vertical.
Um corpo (esfera oca) de massa 6,5 kg rola sem deslizar a 9,5 m/s. Encontre sua energia cinética total Ek.
Dois eixos paralelos estão a 78,75 mm de distância. Eles devem ser ligados por um par de engrenagens de dentes retos com módulo de 1,5 mm e redução de 2,5 : 1. Quantos dentes N1 o pinhão deve ter?
Em um trem de engrenagens composto, a engrenagem A (15 dentes), no eixo de entrada girando a 1450 rpm, aciona a engrenagem B (72 dentes). A engrenagem C (45 dentes) está fixada no mesmo eixo que B e aciona a engrenagem D (80 dentes) no eixo de saída. Calcule a rotação de saída nout.
Uma massa de 1,8 kg presa a uma mola com k = 390 N/m é puxada 8 cm no sentido positivo e solta do repouso em t = 0. Encontre sua velocidade v em t = 1,4 s (com sinal).
Uma massa presa a uma mola com k = 370 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 19 cm. Encontre sua energia cinética K quando ela está a 13 cm do equilíbrio.
Uma massa de 50 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 15 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 870 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 50 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 40 kN/m e k₂ = 20 kN/m. A massa permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: t = 3,472 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: t = 6,761 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Resolva −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² para a raiz positiva.
Resposta: F = 174,3 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocidade constante: as forças se equilibram.
Resposta: a = 1,028 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Resposta: y = 11,62 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
No muro a bola ainda está subindo.
Resposta: x = 82,63 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raiz maior: a bola está descendo.
Resposta: vmax = 16,42 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: Nbottom = 529,7 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Em direção ao centro é positivo.
Resposta: v = 14,43 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
O bloco desce uma altura d·sin θ enquanto o atrito remove μmg·cos θ·d. A massa se cancela.
Resposta: v = 11,76 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′2 = 7,143 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: Favg = 510 N
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: ω = 7,672 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Resposta: Ek = 488,9 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Resposta: N1 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Resposta: nout = 169,9 rpm
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
relação total = 8,533 : 1
Resposta: v = −1,157 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: K = 3,552 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,5023
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: fn = 5,513 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
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