Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 45 km/h freia com desaceleração constante de 7 m/s² até parar. Quanto tempo dura a frenagem? Calcule t.
A bola A é solta do repouso de uma altura de 20 m. No mesmo instante a bola B é lançada verticalmente para cima a partir do chão, logo abaixo, a 11 m/s. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quando as bolas se encontram? Encontre t.
Um trenó de 20 kg é puxado sobre neve plana por uma corda a 25° acima da horizontal com uma força de 170 N. O coeficiente de atrito cinético é 0,4. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a do trenó.
Um bloco recebe um empurrão e começa a subir uma rampa a 30° com velocidade de 5,5 m/s. O coeficiente de atrito cinético é 0,2. Use g = 9,81 m/s². Que distância d ao longo da rampa ele desliza antes de parar?
Uma bola é lançada a 50° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a altura máxima H que a bola alcança.
Uma bola é lançada a 30° acima da horizontal do topo de um penhasco de 60 m. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Uma pequena bola presa a um fio de comprimento 0,8 m se move em um círculo horizontal de modo que o fio forma um ângulo constante de 15° com a vertical (um pêndulo cônico). Use g = 9,81 m/s². Encontre o tempo T de uma volta.
Uma bola de 0,5 kg presa a um fio de 1,4 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 7 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um bloco desliza a partir do repouso por uma rampa a 15° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,15. Encontre sua velocidade v depois de deslizar 4 m ao longo da rampa.
Um carrinho de 10 kg é solto do repouso a uma altura de 2,6 m em um trilho liso que leva a um loop circular vertical de raio 1 m. Encontre a força normal N que o trilho exerce sobre o carrinho no topo do loop.
Um projétil de 4 kg que se move horizontalmente a 11 m/s explode em dois fragmentos que se movem ao longo da mesma reta. O fragmento de 3 kg continua para a frente a 61 m/s. Encontre a velocidade v′2 do fragmento de 1 kg (positiva no sentido original).
Em um cruzamento, um carro de 900 kg que vai para leste a 10 m/s colide com um carro de 1400 kg que vai para norte a 21 m/s. Os carros ficam presos um ao outro. Encontre a velocidade v′ dos destroços logo após a colisão.
Uma barra esbelta uniforme de massa 17 kg e comprimento 1,5 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração atip da extremidade livre logo após ser solta.
Um disco maciço uniforme (massa 18 kg, raio 0,15 m) gira livremente a 1100 rpm em torno de um eixo vertical sem atrito. Um anel fino de massa 13 kg e mesmo raio é solto sobre ele a partir do repouso, centrado no eixo, e os dois logo passam a girar juntos. Encontre a velocidade comum n2 deles em rpm.
Dois eixos paralelos estão a 180 mm de distância. Eles devem ser ligados por um par de engrenagens de dentes retos com módulo de 3 mm e redução de 3 : 1. Quantos dentes N2 a engrenagem deve ter?
Em um trem de engrenagens composto, a engrenagem A (16 dentes) no eixo de entrada gira a 2880 rpm e aciona a engrenagem B (60 dentes). A engrenagem C (25 dentes) está fixada no mesmo eixo de B e aciona a engrenagem D no eixo de saída. A saída deve girar a 384 rpm. Quantos dentes ND a engrenagem D deve ter?
Uma massa de 2,6 kg presa a uma mola com k = 280 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 18 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 4 cm do equilíbrio.
Uma massa de 3,1 kg presa a uma mola com k = 110 N/m é deslocada 3 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua velocidade máxima vmax.
Uma massa de 2 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 10 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 10 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 5 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 20 kN/m e k₂ = 60 kN/m. A massa permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: t = 1,786 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: t = 1,818 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Para cima é positivo, o chão é y = 0.
Resposta: a = 5,217 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Resposta: d = 2,29 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
As duas forças apontam rampa abaixo; a massa se cancela.
Resposta: H = 43,19 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
No topo a velocidade vertical é zero: vy² = 2gH.
Resposta: t = 4,044 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
Resposta: T = 1,763 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Tração e gravidade juntas dão a força para dentro: tan θ = v²/(r·g).
Resposta: T = 22,41 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: v = 2,99 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
O bloco desce uma altura d·sin θ enquanto o atrito remove μmg·cos θ·d. A massa se cancela.
Resposta: N = 19,62 N
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Em uma trajetória circular a força resultante em direção ao centro deve ser igual a mv²/r.
O carrinho completa o loop no limite quando h = 2,5R; então N = 0 no topo.
Resposta: v′2 = −139 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
O sinal de menos significa que o segundo fragmento voa para trás.
Resposta: v′ = 13,37 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
atip = 1,5·g para qualquer comprimento: a extremidade livre cai mais rápido que uma pedra solta.
Resposta: n2 = 450 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Resposta: N2 = 90
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Resposta: ND = 50
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: v = 1,821 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: vmax = 0,1787 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,03536
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: fn = 20,13 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics