Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 36 km/h freia com desaceleração constante de 4,5 m/s² até parar. Calcule a distância de frenagem s.
Uma pedra é solta do repouso em um poço. O som do impacto na água é ouvido 2,3 s depois que a pedra é solta. A velocidade do som é 343 m/s; despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a profundidade d do poço.
Um bloco de 17 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 40° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco de 9 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 5,5 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do sistema.
Uma bola é lançada a 50° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada a 25° acima da horizontal do topo de um penhasco de 50 m. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Um carro de 1800 kg passa pelo topo de uma lombada a 20 m/s. O topo da lombada é um arco de circunferência de raio 60 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força normal N da estrada sobre o carro no topo.
Uma bola de 0,7 kg presa a um fio de 1,4 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 4,5 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um bloco de 0,5 kg desliza 8 m por uma rampa a 45° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,4. Encontre o trabalho Wf realizado contra o atrito.
Um carrinho de 0,5 kg é solto do repouso a uma altura de 7,8 m em um trilho liso que leva a um loop circular vertical de raio 3 m. Encontre a força normal N que o trilho exerce sobre o carrinho no topo do loop.
Um carro de 2000 kg a 25 m/s colide com um carro parado de 1200 kg e os dois ficam presos um ao outro. Que porcentagem ΔK/K da energia cinética inicial é perdida?
Um carro de 1400 kg colide com um carro estacionado de 900 kg. Os destroços ficam presos um ao outro e derrapam 10,5 m antes de parar. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,6. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v1 do primeiro carro logo antes da colisão.
Uma barra esbelta uniforme de massa 13,5 kg e comprimento 0,8 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração atip da extremidade livre logo após ser solta.
Uma barra esbelta uniforme de massa 8,5 kg e comprimento 0,6 m pende em repouso de um pivô sem atrito na sua extremidade superior. Um projétil de 20 g que se move horizontalmente a 500 m/s atinge a barra 0,24 m abaixo do pivô e fica cravado nela. Use g = 9,81 m/s². Encontre o maior ângulo φ em relação à vertical que a barra atinge ao oscilar.
Um motor de 5,5 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 32 dentes, que engrena com uma engrenagem de 48 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 96%. Calcule o torque T1 no eixo do motor.
Em um trem de engrenagens planetário a engrenagem solar tem 30 dentes e cada satélite tem 30 dentes. O porta-satélites é mantido fixo e a solar é acionada a 1500 rpm. Encontre a rotação nr da coroa (em módulo).
Um astronauta em outro planeta verifica que um pêndulo simples de 0,9 m tem período de 3,09 s para pequenas oscilações. Encontre a aceleração da gravidade g nesse planeta.
Um corpo oscila em movimento harmônico simples com período 3,6 s e amplitude 10 cm. Qual é o menor tempo t de que ele precisa para ir do equilíbrio até um deslocamento de 9 cm?
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 15 mm é seguido, 4 ciclos depois, por um pico de 7,1 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 100 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 40 kN/m e k₂ = 40 kN/m. A massa permanece nivelada. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: s = 11,11 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: d = 24,37 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Só a raiz positiva tem sentido físico.
Resposta: a = 4,427 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: a = 1,894 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: x = 57,82 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: t = 3,751 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
Resposta: N = 5658 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Em direção ao centro (para baixo) é positivo.
O carro fica mais leve: a estrada empurra para cima menos que o seu peso.
Resposta: T = 16,99 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: Wf = 11,1 J
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: N = 0,981 N
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Em uma trajetória circular a força resultante em direção ao centro deve ser igual a mv²/r.
O carrinho completa o loop no limite quando h = 2,5R; então N = 0 no topo.
Resposta: ΔK/K = 37,5 %
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
A energia perdida vira deformação, calor e som.
Resposta: v1 = 18,26 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
atip = 1,5·g para qualquer comprimento: a extremidade livre cai mais rápido que uma pedra solta.
Resposta: φ = 27,44 °
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
A força do pivô passa pelo pivô, então não tem momento ali durante o impacto.
Resposta: T1 = 36,22 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: nr = 500 rpm
Trens de engrenagens planetários: as rotações da solar, da coroa e do porta-satélites estão ligadas pela equação de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: visto do porta-satélites, o conjunto é um trem comum com os satélites como engrenagens intermediárias. Manter um membro fixo transforma o conjunto em um redutor de relação única.
Com nc = 0 a solar aciona a coroa através dos satélites, que funcionam como engrenagens intermediárias.
A coroa gira no sentido oposto ao da solar.
Resposta: g = 3,721 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: t = 0,6416 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,02975
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: keq = 80 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
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