Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro em alta velocidade, a 23 m/s constantes, passa por uma viatura policial parada. Nesse instante a viatura parte e acelera uniformemente a 2,5 m/s². A que distância do seu ponto de partida a viatura alcança o carro? Encontre d.
Um bonde parte do repouso e acelera a 1 m/s² durante 9 s, depois anda com velocidade constante durante 27 s e por fim freia a 4,5 m/s² até parar. Encontre o tempo total de percurso t.
Um bloco de 4 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 30° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco recebe um empurrão e começa a subir uma rampa a 20° com velocidade de 4,5 m/s. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Use g = 9,81 m/s². Que distância d ao longo da rampa ele desliza antes de parar?
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 26 m/s e deve cair a 45 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre o menor dos dois ângulos de lançamento possíveis θ.
Uma bola é lançada a 12 m/s e 60° acima da horizontal do alto de um penhasco de 55 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Um carro faz uma curva plana de raio 50 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,5. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Um carrinho de 1 kg é solto do repouso a uma altura de 13,8 m em um trilho sem atrito e passa por um loop vertical de raio 3 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força normal Ntop do trilho sobre o carrinho no topo do loop.
Um bloco de 2 kg desliza 7 m por uma rampa a 45° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,2. Encontre o trabalho Wf realizado contra o atrito.
Um bloco de 4 kg é solto do repouso na altura 4,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 3 m (μ = 0,1) e depois encontra uma mola (k = 2000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a velocidade v do bloco quando chega à mola.
Um carro de 900 kg a 15 m/s colide com um carro parado de 1500 kg e os dois ficam presos um ao outro. Quanta energia cinética ΔK é perdida na colisão?
Em um cruzamento, um carro de 1600 kg que vai para leste a 8 m/s colide com um carro de 1600 kg que vai para norte a 19 m/s. Os carros ficam presos um ao outro. Encontre a direção θ dos destroços logo após a colisão, medida a partir do leste em direção ao norte.
Uma barra esbelta uniforme de massa 8 kg e comprimento 2,2 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força vertical R que o pino exerce sobre a barra logo após ser solta.
Um corpo (cilindro maciço) rola sem deslizar por um plano inclinado de 20° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Encontre o menor coeficiente de atrito estático μs que o impede de deslizar.
Um motor de 1,1 kW girando a 1450 rpm aciona um pinhão com 48 dentes, que engrena com uma engrenagem de 80 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 96%. Calcule o torque T1 no eixo do motor.
Um motor de 1,1 kW a 1440 rpm aciona a engrenagem A (16 dentes), que engrena com a engrenagem B (48 dentes). A engrenagem C (45 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (80 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 98%. Encontre o torque de saída Tout.
Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para ter período de 2,9 s? Use g = 9,81 m/s². Calcule L.
Uma massa de 3 kg é presa à extremidade inferior de uma mola vertical não deformada com k = 280 N/m e solta do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax da massa.
Uma massa de 15 kg sobre uma mola com rigidez de 2 kN/m tem um amortecedor viscoso que dá um fator de amortecimento de 0,7. Encontre a frequência natural amortecida fd da sua vibração livre em Hz.
Uma massa de 10 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 30 kN/m e k₂ = 40 kN/m. A massa permanece nivelada. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: d = 423,2 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Nesse momento a viatura se move a 2v = 46 m/s.
Resposta: t = 38 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: a = 2,781 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: d = 1,654 m
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
As duas forças apontam rampa abaixo; a massa se cancela.
Resposta: θ = 20,39 °
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A outra solução é 90° − θ = 69,61°.
Resposta: H = 60,5 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Resposta: vmax = 15,66 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: Ntop = 41,2 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro é positivo.
Resposta: Wf = 19,42 J
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v = 9,078 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: ΔK = 63281 J
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
A energia perdida vira deformação, calor e som.
Resposta: θ = 67,17 °
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: R = 19,62 N
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
R = m·g/4, independente do comprimento.
Resposta: μs = 0,1213
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
Resposta: T1 = 7,244 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: Tout = 37,36 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: L = 2,09 m
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: vmax = 1,015 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
A velocidade é máxima no equilíbrio.
Resposta: fd = 1,312 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: keq = 70 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
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