Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um avião precisa de uma velocidade de 260 km/h para decolar e a pista utilizável tem 1800 m de comprimento. Partindo do repouso, de que aceleração constante a ele precisa?
Um bonde parte do repouso e acelera a 1 m/s² durante 12 s, depois anda com velocidade constante durante 13 s e por fim freia a 4,5 m/s² até parar. Encontre a distância total s entre as duas paradas.
Massas de 4,5 kg e 4 kg estão penduradas dos dois lados de uma polia leve e sem atrito, ligadas por um fio leve. O sistema é solto do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a das massas.
Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 150 N puxa o bloco da frente, de 8 kg; o bloco de 12 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,15 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a tração T no fio de ligação.
Uma bola é lançada a 70° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a altura máxima H que a bola alcança.
Uma bola é lançada a 19 m/s e 70° acima da horizontal do alto de um penhasco de 50 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Uma curva de raio 240 m tem sobrelevação de 12°. A que velocidade v um carro pode percorrê-la sem precisar de nenhum atrito? Use g = 9,81 m/s².
Uma bola de 1,2 kg presa a um fio de 1,3 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 8,5 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.
Um bloco de 0,5 kg desliza 9 m por uma rampa a 30° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,2. Encontre o trabalho Wf realizado contra o atrito.
Um bloco de 1 kg é solto do repouso na altura 1 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 1 m (μ = 0,2) e depois encontra uma mola (k = 800 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Um projétil de 6 kg que se move horizontalmente a 16 m/s explode em dois fragmentos que se movem ao longo da mesma reta. O fragmento de 2 kg continua para a frente a 62 m/s. Encontre a velocidade v′2 do fragmento de 4 kg (positiva no sentido original).
Um projétil de 8 g é disparado horizontalmente contra um bloco de 2 kg pendurado por fios leves de 1,7 m e fica alojado nele. Os fios oscilam até um ângulo máximo de 15° com a vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.
Uma barra esbelta uniforme de massa 8 kg e comprimento 1,2 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração atip da extremidade livre logo após ser solta.
Um corpo (cilindro maciço) de massa 17,5 kg rola sem deslizar a 3 m/s. Encontre sua energia cinética total Ek.
Uma correia passa por uma polia motora de 100 mm a 1500 rpm. A tração é de 1500 N no lado tracionado e de 450 N no lado frouxo. Encontre a potência P transmitida, em kW.
Uma correia aberta liga uma polia motora de 80 mm a 1440 rpm a uma polia de 400 mm; os centros estão a 1200 mm de distância. O coeficiente de atrito é 0,3 e a tração no lado tracionado não pode exceder 800 N. Encontre a maior potência P que a correia pode transmitir sem escorregar, em kW (ignore os efeitos centrífugos).
Uma massa de 2,9 kg presa a uma mola com k = 50 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 13 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 8 cm do equilíbrio.
Uma massa presa a uma mola com k = 240 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 20 cm. Encontre sua energia cinética K quando ela está a 11 cm do equilíbrio.
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 12 mm é seguido, 2 ciclos depois, por um pico de 3,4 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 20 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 25 kN/m e a inferior k₂ = 80 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: a = 1,449 m/s²
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: s = 244 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: a = 0,5771 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
A força motriz resultante é a diferença dos pesos; ela move a massa total.
Resposta: T = 90 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Com o mesmo μ nos dois blocos, o atrito sai da conta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Resposta: H = 14,58 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
No topo a velocidade vertical é zero: vy² = 2gH.
Resposta: H = 66,25 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
Resposta: v = 22,37 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: T = 78,46 N
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Em direção ao centro (para cima) é positivo.
Resposta: Wf = 7,646 J
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: x = 14,01 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: v′2 = −7 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
O sinal de menos significa que o segundo fragmento voa para trás.
Resposta: v = 267,6 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: atip = 14,71 m/s²
Rotação em torno de um eixo fixo: a soma dos momentos em relação ao eixo é igual a I·α (ΣM = I·α), assim como ΣF = m·a na translação. Na forma de energia, um torque T que gira um ângulo θ (em radianos) realiza o trabalho T·θ, que altera a energia cinética ½·I·ω²; a gravidade acrescenta ou retira m·g·Δh do centro de massa. A potência é P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
atip = 1,5·g para qualquer comprimento: a extremidade livre cai mais rápido que uma pedra solta.
Resposta: Ek = 118,1 J
Rolamento e quantidade de movimento angular: um corpo que rola sem deslizar tem v = ω·r, então sua energia cinética é ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Em um plano inclinado isso dá a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nenhum momento externo atua em relação a um eixo, a quantidade de movimento angular em relação a esse eixo permanece constante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, mesmo que se perca energia cinética.
Resposta: P = 8,247 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: P = 2,788 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: v = 0,4255 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: K = 3,348 J
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,09986
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 4,912 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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