Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 108 km/h freia com desaceleração constante de 7,5 m/s² até parar. Calcule a distância de frenagem s.
Um foguete-modelo é lançado verticalmente para cima a partir do repouso. Seu motor lhe dá uma aceleração constante para cima de 40 m/s² durante 1,5 s, depois disso o motor desliga e o foguete se move livremente. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quanto tempo após o lançamento ele atinge o chão? Encontre t.
Uma caixa de 45 kg é empurrada rampa acima, inclinada a 40° em relação à horizontal, com velocidade constante, por uma força paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força de empurrão F.
Um bloco recebe um empurrão e começa a subir uma rampa a 15° com velocidade de 10,5 m/s. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Que distância d ao longo da rampa ele desliza antes de parar?
Uma bola é lançada a 65° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada do nível do chão a 19 m/s e 65° acima da horizontal. Ela cai no telhado plano de um prédio de 5 m de altura, já descendo. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a distância horizontal x do ponto de lançamento até onde ela cai.
Um carro faz uma curva plana de raio 110 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,7. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Uma bola presa a um fio de 1,2 m de comprimento gira em um círculo vertical. Use g = 9,81 m/s². Qual é a menor velocidade vmin no topo para a qual o fio ainda permanece esticado?
Um carro a 70 km/h em uma estrada plana freia bruscamente e derrapa até parar com as rodas travadas. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,8. Encontre a distância de frenagem d.
Um bloco de 8 kg parte do repouso na base de uma rampa de 25° e é puxado rampa acima por uma força constante de 80 N paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,2. Encontre a velocidade v do bloco depois de ele subir 9 m pela rampa.
Um carrinho de 1 kg a 5 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 4,5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′2 do segundo carrinho após a colisão.
Um carro de 2000 kg colide com um carro estacionado de 1000 kg. Os destroços ficam presos um ao outro e derrapam 15 m antes de parar. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,6. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v1 do primeiro carro logo antes da colisão.
Uma barra esbelta uniforme de massa 5 kg e comprimento 1,2 m está articulada em uma extremidade e é solta do repouso na posição horizontal. Uma pequena bola de massa 1 kg está fixada na sua extremidade livre. Despreze o atrito e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade angular ω da barra ao passar pela posição vertical.
Um corpo (cilindro maciço) parte do repouso e rola sem deslizar por um plano inclinado de 40° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Encontre sua velocidade v depois de rolar 4,5 m ao longo do plano.
Um motor de 11 kW girando a 960 rpm aciona um pinhão com 30 dentes, que engrena com uma engrenagem de 36 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 98%. Calcule o torque de saída T2 no eixo da engrenagem.
Uma correia aberta liga uma polia motora de 125 mm a 1440 rpm a uma polia de 300 mm; os centros estão a 500 mm de distância. O coeficiente de atrito é 0,25 e a tração no lado tracionado não pode exceder 1000 N. Encontre a maior potência P que a correia pode transmitir sem escorregar, em kW (ignore os efeitos centrífugos).
Uma massa de 1,9 kg presa a uma mola com k = 70 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 10 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 3 cm do equilíbrio.
Uma massa de 3,7 kg presa a uma mola com k = 420 N/m é deslocada 12 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua velocidade máxima vmax.
Uma massa de 8 kg sobre uma mola com rigidez de 200 kN/m tem um amortecedor viscoso que dá um fator de amortecimento de 0,7. Encontre a frequência natural amortecida fd da sua vibração livre em Hz.
Uma massa de 20 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 80 kN/m e a inferior k₂ = 100 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: s = 60 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: t = 14,44 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Resolva −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² para a raiz positiva.
Resposta: F = 317,6 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Velocidade constante: as forças se equilibram.
Resposta: d = 15,81 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
As duas forças apontam rampa abaixo; a massa se cancela.
Resposta: x = 52,79 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: x = 25,62 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raiz maior: a bola está descendo.
Resposta: vmax = 27,48 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: vmin = 3,431 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: d = 24,09 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Dobrar a velocidade torna a distância de frenagem quatro vezes maior.
Resposta: v = 8,565 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′2 = 1,818 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
Resposta: v1 = 19,93 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: ω = 4,632 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Resposta: v = 6,151 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rolamento sem deslizamento: ω = v/r, e o atrito não realiza trabalho no ponto de contato.
Resposta: T2 = 128,7 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: P = 4,733 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: v = 0,579 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: vmax = 1,279 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: fd = 17,97 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 7,503 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics