Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 90 km/h freia com desaceleração constante de 3 m/s² até parar. Quanto tempo dura a frenagem? Calcule t.
Um foguete-modelo é lançado verticalmente para cima a partir do repouso. Seu motor lhe dá uma aceleração constante para cima de 22 m/s² durante 2 s, depois disso o motor desliga e o foguete se move livremente. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima hmax que o foguete atinge.
Uma caixa desliza sobre um piso horizontal com velocidade inicial de 6,5 m/s e para após 43 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre o coeficiente de atrito cinético μ.
Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 35 N puxa o bloco da frente, de 4 kg; o bloco de 2 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,2 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a tração T no fio de ligação.
Uma bola é lançada a 25° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada a 16 m/s e 50° acima da horizontal do alto de um penhasco de 60 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Com que ângulo α abaixo da horizontal ela atinge o chão?
Um engenheiro rodoviário quer que os carros façam uma curva de raio 160 m a 40 km/h sem depender do atrito. Use g = 9,81 m/s². Encontre o ângulo de sobrelevação θ.
Um carrinho de 3,5 kg é solto do repouso a uma altura de 4,35 m em um trilho sem atrito e passa por um loop vertical de raio 1,5 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a força normal Ntop do trilho sobre o carrinho no topo do loop.
Um bloco de 1 kg desliza 17 m por uma rampa a 20° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,2. Encontre o trabalho Wf realizado contra o atrito.
Um bloco de 3 kg repousa sobre uma mesa horizontal áspera (μ = 0,4). Um fio leve vai dele, passando por uma polia lisa na borda da mesa, até um bloco pendurado de 5 kg. O sistema é solto do repouso. Encontre a velocidade v dos blocos depois que o bloco pendurado desceu 2,5 m.
Um projétil de 12 g é disparado horizontalmente contra um bloco de madeira de 4,5 kg pendurado por fios leves e fica alojado nele. O bloco oscila para cima até ficar 5 cm mais alto que no início. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.
Em um cruzamento, um carro de 1100 kg que vai para leste a 16 m/s colide com um carro de 1800 kg que vai para norte a 16 m/s. Os carros ficam presos um ao outro. Encontre a velocidade v′ dos destroços logo após a colisão.
Um volante com momento de inércia de 23,5 kg·m² gira a 400 rpm. Um freio aplica um torque de atrito constante de 100 N·m. Quantas voltas N o volante dá antes de parar?
Um corpo (esfera maciça) parte do repouso e rola sem deslizar por um plano inclinado de 25° em relação à horizontal. Use g = 9,81 m/s². Seu raio é 0,3 m. Encontre sua velocidade angular ω depois de rolar 3 m ao longo do plano.
Uma correia passa por uma polia motora de 100 mm a 2880 rpm. A tração é de 1000 N no lado tracionado e de 250 N no lado frouxo. Encontre a potência P transmitida, em kW.
Um motor de 4 kW a 960 rpm aciona a engrenagem A (18 dentes), que engrena com a engrenagem B (24 dentes). A engrenagem C (25 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (30 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 98%. Encontre o torque de saída Tout.
Uma massa de 3 kg presa a uma mola com k = 120 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 20 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 15 cm do equilíbrio.
Uma massa de 3,7 kg presa a uma mola com k = 190 N/m é deslocada 3 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule sua velocidade máxima vmax.
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 30 mm é seguido, um ciclo depois, por um pico de 23,3 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 10 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 12 kN/m e a inferior k₂ = 5 kN/m. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: t = 8,333 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: hmax = 142,7 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
No topo a velocidade é zero.
Resposta: μ = 0,05008
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Resposta: T = 11,67 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Com o mesmo μ nos dois blocos, o atrito sai da conta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Resposta: x = 61,22 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: α = 74,24 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energia, ou v² = v₀² + 2as na direção vertical.
Resposta: θ = 4,497 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Resposta: Ntop = 27,47 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Em direção ao centro é positivo.
Resposta: Wf = 31,34 J
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v = 4,827 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v = 372,4 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: v′ = 11,64 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: N = 32,81 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Resposta: ω = 14,05 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rolamento sem deslizamento: ω = v/r, e o atrito não realiza trabalho no ponto de contato.
Resposta: P = 11,31 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: Tout = 61,14 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: v = 0,8367 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: vmax = 0,215 m/s
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,04019
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 2,99 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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