Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 36 km/h freia com desaceleração constante de 3 m/s² até parar. Calcule a distância de frenagem s.
Um foguete-modelo é lançado verticalmente para cima a partir do repouso. Seu motor lhe dá uma aceleração constante para cima de 20 m/s² durante 1,5 s, depois disso o motor desliga e o foguete se move livremente. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima hmax que o foguete atinge.
Um bloco de 15 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 45° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco de 7,5 kg sobre uma mesa horizontal está ligado por um fio leve, que passa por uma polia sem atrito, a uma massa suspensa de 4,5 kg. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio.
Uma bola é lançada a 65° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.
Uma bola é lançada a 35° acima da horizontal do topo de um penhasco de 5 m. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.
Uma curva de raio 100 m tem sobrelevação de 20°. A que velocidade v um carro pode percorrê-la sem precisar de nenhum atrito? Use g = 9,81 m/s².
Um pequeno carrinho é solto do repouso em um trilho sem atrito e entra em um loop vertical de raio 4,5 m. De que altura mínima hmin acima da base do loop ele deve partir para permanecer no trilho no topo do loop?
Um bloco de 4 kg desliza 20 m por uma rampa a 30° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,2. Encontre o trabalho Wf realizado contra o atrito.
Um bloco de 8 kg parte do repouso na base de uma rampa de 30° e é puxado rampa acima por uma força constante de 70 N paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,25. Encontre a velocidade v do bloco depois de ele subir 5 m pela rampa.
Um projétil de 5 g é disparado horizontalmente contra um bloco de madeira de 3 kg pendurado por fios leves e fica alojado nele. O bloco oscila para cima até ficar 12 cm mais alto que no início. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.
Uma bola de 0,5 kg atinge uma parede a 26 m/s e volta em linha reta a 13 m/s. O contato dura 40 ms. Calcule o módulo do impulso J que a parede aplica à bola.
Uma barra esbelta uniforme de massa 1,5 kg e comprimento 0,8 m está articulada em uma extremidade e mantida na horizontal. Ela é solta a partir do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a sua aceleração angular α logo após ser solta.
Uma barra esbelta uniforme de massa 9 kg e comprimento 2 m pende em repouso de um pivô sem atrito na sua extremidade superior. Um projétil de 10 g que se move horizontalmente a 500 m/s atinge a barra 0,95 m abaixo do pivô e fica cravado nela. Encontre a velocidade angular ω da barra logo após o impacto.
Um motor de 1,5 kW a 960 rpm aciona um parafuso sem-fim com 4 entrada(s). A coroa tem 50 dentes e a transmissão tem eficiência de 75%. Encontre o torque de saída Tw no eixo da coroa.
Em um trem de engrenagens planetário a engrenagem solar tem 16 dentes e cada satélite tem 24 dentes. O porta-satélites é mantido fixo e a solar é acionada a 600 rpm. Encontre a rotação nr da coroa (em módulo).
Uma massa de 2,2 kg presa a uma mola com k = 60 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 6 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 5 cm do equilíbrio.
Uma massa de 2,6 kg presa a uma mola com k = 20 N/m é deslocada 7 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule a energia total E da oscilação.
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 40 mm é seguido, 3 ciclos depois, por um pico de 6 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 100 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 40 kN/m e k₂ = 5 kN/m. A massa permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Resposta: s = 16,67 m
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: hmax = 68,37 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
No topo a velocidade é zero.
Resposta: a = 6,243 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: T = 34,49 N
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Resposta: t = 2,217 s
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Partindo e chegando na mesma altura: t = 2vy/g.
Resposta: x = 40,65 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
Resolva y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.
Resposta: v = 18,9 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Resposta: hmin = 11,25 m
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Resposta: Wf = 135,9 J
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v = 4,149 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v = 922,2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Resposta: J = 19,5 N·s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: α = 18,39 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
No instante em que é solta, ω = 0, então não há aceleração centrípeta e o centro acelera diretamente para baixo.
Resposta: ω = 0,3955 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
A força do pivô passa pelo pivô, então não tem momento ali durante o impacto.
Resposta: Tw = 139,9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: nr = 150 rpm
Trens de engrenagens planetários: as rotações da solar, da coroa e do porta-satélites estão ligadas pela equação de Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: visto do porta-satélites, o conjunto é um trem comum com os satélites como engrenagens intermediárias. Manter um membro fixo transforma o conjunto em um redutor de relação única.
Com nc = 0 a solar aciona a coroa através dos satélites, que funcionam como engrenagens intermediárias.
A coroa gira no sentido oposto ao da solar.
Resposta: v = 0,1732 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: E = 0,049 J
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,1001
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: fn = 3,376 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
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