Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.
Um carro a 45 km/h freia com desaceleração constante de 5 m/s² até parar. Quanto tempo dura a frenagem? Calcule t.
Uma bola é lançada verticalmente para cima a 10 m/s da beira de um telhado a 15 m do chão. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Quanto tempo após o lançamento ela atinge o chão? Calcule t.
Um bloco de 10 kg desliza para baixo em um plano inclinado a 35° da horizontal. O coeficiente de atrito cinético é 0,25. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do bloco ao longo do plano.
Um bloco de 2 kg em uma rampa a 25° está ligado por um fio leve, passando por uma polia sem atrito no topo da rampa, a uma massa pendurada de 9 kg. A massa pendurada desce. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,1. Use g = 9,81 m/s². Calcule a aceleração a do sistema.
Uma bola é lançada a partir do chão plano a 35° acima da horizontal e cai a 65 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade de lançamento v0.
Uma bola é lançada a 14 m/s e 20° acima da horizontal do alto de um penhasco de 40 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Um carro faz uma curva plana de raio 90 m. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,6. Use g = 9,81 m/s². Calcule a maior velocidade vmax com que o carro pode fazer a curva sem derrapar.
Um pequeno carrinho é solto do repouso em um trilho sem atrito e entra em um loop vertical de raio 4,5 m. De que altura mínima hmin acima da base do loop ele deve partir para permanecer no trilho no topo do loop?
Uma bola de 0,5 kg está pendurada em um fio leve de comprimento 3 m. Ela é afastada até o fio formar 20° com a vertical e solta do repouso. Encontre a tração T no fio quando a bola passa pelo ponto mais baixo.
Um bloco de 2 kg repousa sobre uma mesa horizontal áspera (μ = 0,15). Um fio leve vai dele, passando por uma polia lisa na borda da mesa, até um bloco pendurado de 2 kg. O sistema é solto do repouso. Encontre a velocidade v dos blocos depois que o bloco pendurado desceu 2,5 m.
Um carrinho de 4,5 kg a 3 m/s sofre uma colisão frontal perfeitamente elástica com um carrinho de 5 kg em repouso em um trilho sem atrito. Calcule a velocidade v′1 do primeiro carrinho após a colisão (positiva no seu sentido original).
Uma bola de 0,35 kg atinge uma parede a 8 m/s e volta em linha reta a 19 m/s. O contato dura 50 ms. Calcule o módulo do impulso J que a parede aplica à bola.
Um volante com momento de inércia de 15,5 kg·m² gira a 1900 rpm. Um freio aplica um torque de atrito constante de 105 N·m. Quantas voltas N o volante dá antes de parar?
Um corpo (cilindro maciço) de massa 12 kg rola sem deslizar a 5,5 m/s. Encontre sua energia cinética de rotação Erot.
Um motor de 1,5 kW girando a 2900 rpm aciona um pinhão com 32 dentes, que engrena com uma engrenagem de 36 dentes. O par de engrenagens tem rendimento de 95%. Calcule o torque de saída T2 no eixo da engrenagem.
Um motor de 3 kW a 2900 rpm aciona a engrenagem A (60 dentes), que engrena com a engrenagem B (72 dentes). A engrenagem C (15 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (18 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 98%. Encontre o torque de saída Tout.
Um astronauta em outro planeta verifica que um pêndulo simples de 1,8 m tem período de 4,38 s para pequenas oscilações. Encontre a aceleração da gravidade g nesse planeta.
Uma massa de 0,2 kg presa a uma mola com k = 20 N/m é deslocada 12 cm da posição de equilíbrio e solta. Calcule a energia total E da oscilação.
Em um ensaio de vibração livre de um sistema massa–mola amortecido, um pico de deslocamento de 15 mm é seguido, 3 ciclos depois, por um pico de 4,8 mm. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 100 kg está pendurada em duas molas ligadas uma após a outra (em série): a mola superior tem k₁ = 5 kN/m e a inferior k₂ = 40 kN/m. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Resposta: t = 2,5 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Resposta: t = 3,044 s
Movimento com aceleração constante: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Escolha a equação que contém as três grandezas que você conhece e a que você procura, e mantenha os sinais coerentes com um único sentido positivo.
Para cima é positivo e o chão está h₀ abaixo do ponto de partida.
Só a raiz positiva tem sentido físico.
Resposta: a = 3,618 m/s²
Segunda lei de Newton: a força resultante sobre um corpo é igual à sua massa vezes sua aceleração, ΣF = m·a. Desenhe um diagrama de corpo livre, escolha um sentido positivo ao longo do movimento e some todas as forças nesse sentido: forças aplicadas, o atrito μ·N contrário ao movimento e as componentes da gravidade.
Para baixo ao longo do plano é positivo.
Resposta: a = 7,111 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Resposta: v0 = 26,05 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Resposta: H = 41,17 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Resposta: vmax = 23,02 m/s
Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.
Resposta: hmin = 11,25 m
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Resposta: T = 5,497 N
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Em uma trajetória circular a força resultante em direção ao centro deve ser igual a mv²/r.
Verificação: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,497 N.
Resposta: v = 4,566 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: v′1 = −0,1579 m/s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resolver juntas a conservação da quantidade de movimento e da energia dá estes dois resultados.
O sinal negativo significa que o primeiro carrinho volta para trás.
Resposta: J = 9,45 N·s
Conservação da quantidade de movimento: quando nenhuma força externa atua durante uma colisão, a quantidade de movimento total Σm·v antes é igual à total depois. As velocidades têm sentido, então escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às velocidades no outro sentido. Em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva; em uma perfeitamente inelástica os corpos ficam unidos.
Resposta: N = 465 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Resposta: Erot = 90,75 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Resposta: T2 = 5,279 N·m
Trens de engrenagens: engrenagens acopladas têm a mesma velocidade nos dentes, então n₁·N₁ = n₂·N₂: a engrenagem com menos dentes gira mais rápido. Engrenagens no mesmo eixo giram com a mesma rotação. A potência é transmitida (menos as perdas), então o torque aumenta quando a rotação diminui: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω com ω = 2π·n/60.
Resposta: Tout = 13,66 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: g = 3,704 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Resposta: E = 0,144 J
Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².
Resposta: ζ = 0,06034
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Resposta: keq = 4,444 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas em série compartilham a mesma força e somam suas deflexões, então se combinam pelos inversos: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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