Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 30 exercícios, com soluções completas no final.
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Encontre a reação vertical de apoio RA.
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 4,5 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 2 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 2 m até a extremidade livre em 6 m. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
Use o método dos nós para encontrar a força FAB na barra AB. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
Use o método dos nós para encontrar a força FBC na barra BC. Dê tração como positiva e compressão como negativa.
A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor MA no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 7 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δmax, no meio do vão.
Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δmax.
Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.
Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.
Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.
A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 5 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σtopo na borda superior.
Para o perfil de solo mostrado, encontre a tensão vertical efetiva σ′ no ponto X.
Para o perfil de solo mostrado, encontre a poropressão u no ponto X.
Uma camada de argila pré-adensada com 7,5 m de espessura tem Cc = 0,45, Cr = 0,03 e e₀ = 1,1. Na metade da sua profundidade a tensão vertical efetiva é 45 kPa e a tensão de pré-adensamento é 75 kPa. Um novo edifício acrescenta 25 kPa de tensão vertical na metade da profundidade. Encontre o recalque por adensamento primário S em mm.
Uma camada de argila com 5 m de espessura tem coeficiente de adensamento cv = 3 m²/ano. Ela está entre duas camadas de areia, então a água drena pelo topo e pela base. Para 90% de adensamento médio o fator tempo é Tv = 0,848. Quantos anos t a camada leva para atingir 90% de adensamento?
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
Água escoa a 5 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 28 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 0,2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 3 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 2,5 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.
Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 600 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1,2 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).
Em um ensaio, uma bomba fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 30 m enquanto seu eixo absorve 33,6 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 2 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 19,5% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
Poupa €150 no fim de cada mês durante 25 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €7 000, €13 000, €6 000, €15 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um investimento de €80 000 retorna €15 500 no final de cada ano durante 9 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 244,25 e 251 g? Dê P em forma decimal.
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 85% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
Resposta: RA = 42 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Tomar momentos em relação a um apoio elimina a reação desse apoio da equação.
Substitua os apoios por forças de reação. Um apoio móvel dá uma reação vertical; com apenas cargas verticais, o apoio fixo também dá uma reação vertical.
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resposta: RA = 46,11 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resposta: FAB = −18,63 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
Suponha que toda barra está tracionada (puxando para fora do nó). Só AB tem componente vertical em A.
Resposta: FBC = −51,39 kN
Método dos nós: cada nó de uma treliça está em equilíbrio, então ΣFx = 0 e ΣFy = 0 em cada nó. Comece por um nó com no máximo duas forças de barra desconhecidas. Um resultado negativo significa que a barra está comprimida.
Equilíbrio da treliça inteira. Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário.
O apoio móvel dá apenas uma reação vertical, então o nó C tem só duas forças de barra desconhecidas. Suponha ambas tracionadas.
Resposta: MA = −154 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Negativo significa tração na face superior.
Resposta: Mx = 10,75 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Equilíbrio da viga inteira.
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
Resposta: δmax = 8,882 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
Resposta: δmax = 60,9 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
Resposta: Pcr = 21,7 kN
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.
Resposta: σcr = 7,896 MPa
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.
Resposta: Ix = 58,36 × 10⁶ mm⁴
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Meça todo y a partir da borda inferior.
Resposta: σtopo = 5,399 MPa
Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.
Meça todo y a partir da borda inferior.
A borda superior está a h − ȳ do eixo.
Resposta: σ′ = 72,69 kPa
Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γw·(profundidade abaixo do lençol freático).
Some o peso de cada faixa de solo acima de X. Acima do lençol freático use o peso específico seco, abaixo o saturado.
A pressão da água cresce com a profundidade abaixo do lençol freático.
Resposta: u = 49,05 kPa
Tensão efetiva (Terzaghi): o esqueleto do solo suporta σ′ = σ − u. A tensão total σ é o peso de tudo acima do ponto, Σγ·h, usando o peso específico seco acima do lençol freático e o saturado abaixo dele. Abaixo do lençol freático a poropressão é hidrostática: u = γw·(profundidade abaixo do lençol freático).
A pressão da água cresce com a profundidade abaixo do lençol freático.
Resposta: S = 20,56 mm
Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′f = σ′0 + Δσ. Argila normalmente adensada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo Cr até a tensão de pré-adensamento σ′p e só segue Cc além dela. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, em que o caminho de drenagem Hdr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.
A argila permanece na sua reta de recompressão.
Resposta: t = 1,767 anos
Adensamento primário de uma camada de argila de espessura H, usando a tensão efetiva no meio da camada: σ′f = σ′0 + Δσ. Argila normalmente adensada: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Uma argila pré-adensada se recomprime segundo Cr até a tensão de pré-adensamento σ′p e só segue Cc além dela. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, em que o caminho de drenagem Hdr é H/2 quando a água pode sair pelo topo e pela base, e H quando só um lado drena.
Resposta: F = 42,92 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Resposta: ycp = 2,333 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Resposta: hf = 4,627 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Resposta: Q = 276,6 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
Resposta: Q = 77,26 m³/s
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Resposta: S = 0,003053 m/m
Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.
Isso é um desnível de 3,053 m por quilômetro.
Resposta: η = 70,07 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Resposta: H = 8,115 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.
Resposta: EAR = 21,34 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
Resposta: FV = 61577 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Pôs €45 000 do seu bolso; o resto são juros.
Resposta: NPV = 5982 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
Resposta: IRR = 12,85 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
Resposta: P = 0,4542
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Resposta: x = 542 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
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