Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 42 exercícios, com soluções completas no final.
A viga simplesmente apoiada tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B. Ela suporta uma carga concentrada P a 1,5 m de A e um binário anti-horário M a 2,5 m de A. Encontre a reação vertical RB, considerando positivo para cima.
Uma viga composta está engastada na parede em A, tem uma rótula interna em C (a 4 m de A) e se apoia em um apoio móvel em D (a 8 m de A). Ela suporta uma carga concentrada P a 6 m de A, uma carga uniformemente distribuída w em todo o trecho CD e uma carga concentrada Q a 1 m de A. Encontre o módulo do momento de reação MA na parede.
Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de bronze (diâmetro 50 mm, comprimento 500 mm, E = 110 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,5 mm no total.
Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 60 mm, comprimento 300 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 40 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ2 no trecho 2.
Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 12 mm é torcido por um torque de 100 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 400 mm giram 14,07° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.
Um eixo maciço de latão transmite 15 kW a 1450 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa e a torção não pode passar de 0,5° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.
Encontre o esforço cortante Vx na seção x = 7,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
Encontre o momento fletor Mx na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τmax.
Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 500 mm e espessura de parede de 5 mm contém gás a uma pressão manométrica de 0,5 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 35° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σn que atua através da costura de solda.
Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δB na extremidade livre B.
Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 125 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura hreq da seção.
Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.
Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 70 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.
Uma bola é chutada a partir do chão plano a 30 m/s e 25° acima da horizontal em direção a um muro a 49 m de distância. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². A que altura y a bola passa pelo muro?
Uma bola é lançada do nível do chão a 28 m/s e 65° acima da horizontal. Ela cai no telhado plano de um prédio de 10 m de altura, já descendo. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a distância horizontal x do ponto de lançamento até onde ela cai.
Um lançador de brinquedo tem uma mola vertical de rigidez 2000 N/m. Uma bola de 0,05 kg é colocada sobre ela e a mola é comprimida 8 cm e depois solta. Desprezando a resistência do ar e a massa da mola, encontre a altura h que a bola sobe, medida a partir da sua posição com a mola comprimida.
Um bloco de 0,5 kg é solto do repouso na altura 1 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 1,5 m (μ = 0,1) e depois encontra uma mola (k = 800 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a compressão máxima x da mola.
Uma massa de 20 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 20 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 510 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 25 kg está pendurada em duas molas lado a lado (em paralelo), com rigidezes k₁ = 25 kN/m e k₂ = 80 kN/m. A massa permanece nivelada. Encontre a rigidez equivalente keq do sistema de molas em kN/m.
Uma máquina térmica opera entre um reservatório quente a 475 °C e um reservatório frio a 15 °C. Encontre o maior rendimento térmico possível ηmax.
Uma máquina térmica recebe 4000 kJ de calor de um reservatório a 350 °C, produz 1480 kJ de trabalho e rejeita o restante para um reservatório a 25 °C, por ciclo. Encontre a entropia total gerada Sgen por ciclo.
Um ciclo Diesel ideal tem taxa de compressão r = 17 e razão de corte rc = v₃/v₂ = 3. No início da compressão o ar está a 300 K. Use as hipóteses de ar-padrão frio: o ar é um gás ideal com calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Encontre o calor fornecido qin por quilograma de ar, em kJ/kg.
Uma usina com turbina a gás opera em um ciclo Brayton com razão de pressões no compressor de 20. O ar entra no compressor a 310 K e na turbina a 1400 K. O compressor tem rendimento isentrópico de 88% e a turbina de 92%. Use as hipóteses de ar-padrão frio: o ar é um gás ideal com calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Encontre o trabalho líquido wnet por quilograma de ar, em kJ/kg.
Água escoa a 22 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 200 mm para 100 mm. A pressão no trecho estreito é 100 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p1 no trecho largo.
A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 50 mm enquanto sobe 1 m. Na seção 1 a pressão é 190 kPa e a velocidade é 2,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
Água escoa a 80 L/s em uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. A superfície da água do reservatório superior está 36 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 44 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 92%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo Pshaft em kW.
Uma parede é feita de 250 mm de madeira e 50 mm de poliestireno expandido, com área de 15 m². As faces externas estão a 21 °C e -3 °C. Encontre a temperatura Ti na interface entre as duas camadas.
Uma parede de 50 mm vidro e 75 mm placa de gesso separa um ambiente a 22 °C do ar externo a -4 °C. Os coeficientes de convecção são 8 W/(m²·K) por dentro e 20 W/(m²·K) por fora, e a área da parede é 6 m². Encontre a temperatura Ts da superfície interna da parede.
Uma correia passa por uma polia motora de 120 mm a 2880 rpm. A tração é de 600 N no lado tracionado e de 150 N no lado frouxo. Encontre a potência P transmitida, em kW.
Um motor de 11 kW a 2900 rpm aciona a engrenagem A (15 dentes), que engrena com a engrenagem B (16 dentes). A engrenagem C (24 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (80 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 98%. Encontre o torque de saída Tout.
Encontre f(t) para F(s) = 10/(s(s + 4)(s + 5)) por frações parciais e calcule f(0,3).
Resolva y″ + 3y′ + 2y = 0 com y(0) = 1 e y′(0) = −13 usando a transformada de Laplace e encontre y(0,8).
A planta G(s) = K/(s(s + 2)) está em uma malha de realimentação negativa unitária. Encontre o ganho K para o qual a malha fechada é criticamente amortecida (dois polos reais iguais).
Um controlador proporcional K comanda a planta G(s) = 10/(s + 2) em uma malha de realimentação negativa unitária. Um degrau de perturbação de tamanho 2 entra na entrada da planta com R = 0. Encontre o menor ganho K que mantém a saída em regime permanente igual ou inferior a 0,1.
Um sistema tem a função de transferência G(s) = 62/(s² + 8s + 31) e recebe uma entrada em degrau unitário. Encontre a frequência natural ωn em rad/s.
Um sistema de segunda ordem sem zeros deve ter uma resposta ao degrau com 15 % de sobressinal. Encontre a razão de amortecimento ζ.
Um processo G(s) = 2,5/(0,5s + 1) é controlado por um ganho proporcional K = 19 em uma malha com realimentação unitária. Encontre o erro em regime permanente ess para um degrau, como porcentagem do tamanho do degrau.
Um controlador PD C(s) = 5 + Kd·s controla a planta G(s) = 1/(s(s + 4)) em uma malha com realimentação unitária. Encontre o ganho derivativo Kd que dá à malha fechada um coeficiente de amortecimento ζ = 0,9.
Resposta: RB = 3 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Anti-horário positivo.
Uma reação negativa atua para baixo.
Resposta: MA = 201 kN·m
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação. Uma rótula interna não pode transmitir momento fletor, o que dá uma equação adicional: o momento em relação à rótula das forças de qualquer um dos lados é zero.
A rótula não tem momento, então os momentos em relação a C só no trecho CD devem se equilibrar.
A força na rótula VC atua para baixo em AC (igual e oposta à sua ação em CD).
Resposta: P = 76,23 kN
Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.
Resposta: σ2 = 11,22 MPa
Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.
Resposta: G = 80,01 GPa
Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.
Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.
Resposta: d = 41,47 mm
Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.
Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.
Aqui a rigidez governa.
Resposta: Vx = −21 kN
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Equilíbrio da viga inteira.
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
Resposta: Mx = 67,5 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Equilíbrio da viga inteira.
Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.
Resposta: τmax = 62,65 MPa
Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Resposta: σn = 20,89 MPa
Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Cilindro de parede fina: tensão circunferencial σh = pr/t e tensão axial σa = pr/(2t); essas são as tensões principais na parede.
Tome x ao longo do eixo (σa) e y na direção circunferencial (σh). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.
Resposta: δB = 24,71 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.
Resposta: hreq = 218,8 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.
Resposta: Pcr = 5,14 kN
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.
Resposta: d = 49,03 mm
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Verificação: a esbeltez KL/r é 163,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.
Resposta: y = 6,918 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
No muro a bola já está descendo.
Resposta: x = 56,14 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Raiz maior: a bola está descendo.
Resposta: h = 13,05 m
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
Resposta: x = 10,21 cm
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: ζ = 0,4032
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: keq = 105 kN/m
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Molas lado a lado compartilham a deflexão e somam suas forças, então suas rigidezes simplesmente se somam: k = k1 + k2.
Resposta: ηmax = 61,48 %
Limites da segunda lei: nenhum ciclo operando entre reservatórios às temperaturas absolutas TH e TL supera o ciclo reversível (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) e COPHP,max = TH/(TH − TL). A energia sempre se conserva: QH = W + QL.
Resposta: Sgen = 2,033 kJ/K
Geração de entropia: ao longo de um ciclo completo o fluido de trabalho não tem variação líquida de entropia. O reservatório quente perde QH/TH e o reservatório frio ganha QL/TL. A soma delas é a entropia gerada, que é zero para um ciclo reversível e positiva para todo ciclo real.
Sgen > 0, então a máquina é possível, mas irreversível.
Resposta: qin = 1873 kJ/kg
Ciclo Diesel (motor de ignição por compressão): 1→2 compressão isentrópica, 2→3 fornecimento de calor a pressão constante, 3→4 expansão isentrópica, 4→1 rejeição de calor a volume constante. Com taxa de compressão r = v₁/v₂ e razão de corte rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Resposta: wnet = 265,2 kJ/kg
Ciclo Brayton (turbina a gás): 1→2 compressão isentrópica, 2→3 fornecimento de calor a pressão constante, 3→4 expansão isentrópica na turbina, 4→1 rejeição de calor a pressão constante. Com razão de pressões rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k e η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Trabalho líquido w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Com rendimentos isentrópicos, o compressor precisa de ws/ηc e a turbina fornece ηt·ws.
Razão de trabalho reverso: wc/wt = 64,37%.
Resposta: p1 = 103,7 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Resposta: p2 = 167,5 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
Resposta: hf = 11,9 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Resposta: Q = 101,6 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
Resposta: Pel = 18,05 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Resposta: Pshaft = 29,19 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Resposta: Ti = 8,826 °C
Resistência térmica: o fluxo de calor permanente através de camadas em série se comporta como corrente em resistores em série: Q̇ = ΔT/ΣR, com R = L/(kA) para uma camada condutora e R = 1/(hA) para uma superfície com convecção. A queda de temperatura em cada camada é proporcional à sua resistência.
A temperatura cai Q̇·R₁ na primeira camada.
Resposta: Ts = 17,14 °C
Resistência térmica: o fluxo de calor permanente através de camadas em série se comporta como corrente em resistores em série: Q̇ = ΔT/ΣR, com R = L/(kA) para uma camada condutora e R = 1/(hA) para uma superfície com convecção. A queda de temperatura em cada camada é proporcional à sua resistência.
Resposta: P = 8,143 kW
Transmissões por correia: sem escorregamento, as duas polias têm a mesma velocidade periférica v = π·d·n/60, de modo que n₁·d₁ = n₂·d₂ e a relação de velocidades é d₂/d₁. O escorregamento s torna a polia movida um pouco mais lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). A potência transmitida é P = (T₁ − T₂)·v, com T₁ a tração no lado tracionado e T₂ no lado frouxo. O atrito limita a razão das trações: T₁/T₂ = eμθ, em que θ é o ângulo de abraçamento em radianos na polia menor; para uma correia aberta, θ = π − 2·asen((d₂ − d₁)/(2C)) com distância entre centros C.
Resposta: Tout = 123,7 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: f(0.3) = 0,1933
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Resposta: y(0.8) = −2,52
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Verificação: y(0) = A + B = 1.
Resposta: K = 1
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Um polinômio s² + βs + γ tem uma raiz dupla quando β² = 4γ.
Resposta: K = 19,8
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Resposta: ωn = 5,568 rad/s
Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
O denominador deve coincidir com s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Resposta: ζ = 0,5169
Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Resposta: ess = 2,062 %
Erro em regime permanente: em uma malha com realimentação unitária e função de transferência de malha aberta G(s), o erro é E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e pelo teorema do valor final ess = lims→0 s·E(s). O tipo do sistema é o número de polos de G(s) em s = 0. As constantes de erro são Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Um degrau de tamanho A dá ess = A/(1 + Kp), uma rampa A·t dá A/Kv e uma parábola A·t²/2 dá A/Ka. Uma malha do tipo 0 segue um degrau com erro finito, uma malha do tipo 1 o segue exatamente e segue uma rampa com erro finito.
Resposta: Kd = 0,02492 s
Controle P, PI e PID: o controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s atua sobre o erro. Um ganho proporcional torna a malha mais rápida e reduz o erro de uma planta do tipo 0, mas nunca o elimina. O termo integral acrescenta um polo em s = 0: o tipo do sistema sobe uma unidade, e um degrau é seguido sem erro. O termo derivativo acrescenta amortecimento. Para escolher os ganhos, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζωns + ωn². Então %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd com ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).
O termo derivativo acrescenta amortecimento sem alterar ωₙ.
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. O FE exam é realizado por NCEES, que não é afiliado ao ExamProblems e não o endossa.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical