Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 42 exercícios, com soluções completas no final.
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 8 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
A viga tem um apoio fixo em A e um apoio móvel em B, a 2,5 m de A, e se estende em balanço além de B até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P a 1 m de A e uma carga uniformemente distribuída w de 1,5 m até a extremidade livre em 4 m. Encontre a reação vertical RA, considerando positivo para cima.
Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.
A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σmax na barra.
Um eixo vazado deve suportar um torque de 100 N·m. Seu diâmetro interno deve ser 0,5 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro externo do.
Um eixo maciço de latão com diâmetro 25 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 400 N·m é aplicado em C, a 1,2 m de A e a 1,5 m de B. Encontre o torque de reação TA na parede A.
A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P1 entre os apoios e uma carga concentrada P2 em C. Encontre o esforço cortante Vx logo à esquerda do apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.
A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo Mmax na viga.
Um ponto tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). O elemento é girado 35° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σy′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.
Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1200 mm e espessura de parede de 10 mm contém gás a uma pressão manométrica de 2 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 30° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σn que atua através da costura de solda.
Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 6,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δP sob a carga.
Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor MA no engaste.
Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.
Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 30 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.
Uma bola é lançada a 30° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a altura máxima H que a bola alcança.
Uma bola é lançada a 35 m/s e 60° acima da horizontal do alto de um penhasco de 60 m. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima H acima do chão ao pé do penhasco.
Uma bola de 1 kg está pendurada em um fio leve de comprimento 2 m. Ela é afastada até o fio formar 40° com a vertical e solta do repouso. Encontre a tração T no fio quando a bola passa pelo ponto mais baixo.
Um bloco de 2,5 kg é solto do repouso na altura 1,5 m em uma rampa lisa. Embaixo ele atravessa uma faixa horizontal áspera de 3 m (μ = 0,3) e depois encontra uma mola (k = 1000 N/m) em uma superfície lisa. Encontre a velocidade v do bloco quando chega à mola.
Uma massa de 20 kg é sustentada por uma mola com rigidez de 200 kN/m e por um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento de 1600 N·s/m. Encontre o fator de amortecimento ζ.
Uma massa de 25 kg está pendurada na mola k₃ = 50 kN/m. O topo de k₃ está preso a uma barra rígida que está pendurada em duas molas lado a lado, k₁ = 60 kN/m e k₂ = 25 kN/m; a barra permanece nivelada. Despreze o amortecimento e as massas das molas e da barra. Encontre a frequência natural fn da vibração vertical em Hz.
Uma máquina térmica opera entre um reservatório quente a 325 °C e um reservatório frio a 30 °C. Encontre o maior rendimento térmico possível ηmax.
Uma bomba de calor mantém uma casa a 21 °C enquanto faz 5 °C lá fora, fornecendo 8 kW de calor à casa. Encontre a potência mínima de entrada Ẇmin.
Um ciclo Diesel ideal tem taxa de compressão r = 15 e razão de corte rc = v₃/v₂ = 3. No início da compressão o ar está a 310 K. Use as hipóteses de ar-padrão frio: o ar é um gás ideal com calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Encontre o calor fornecido qin por quilograma de ar, em kJ/kg.
Uma usina com turbina a gás opera em um ciclo Brayton com razão de pressões no compressor de 10. O ar entra no compressor a 288 K e na turbina a 1400 K. As duas máquinas são isentrópicas. Use as hipóteses de ar-padrão frio: o ar é um gás ideal com calores específicos constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) e cv = 0,718 kJ/(kg·K). Encontre o trabalho líquido wnet por quilograma de ar, em kJ/kg.
A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 280 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.
Uma mangueira com diâmetro interno de 20 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 1,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 3 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta pC no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.
Água escoa a 15 L/s em uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
Uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,015) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 0,2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 150 L/s?
Uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 36 m. O rendimento da bomba é 60% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.
Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Uma parede é feita de 150 mm de concreto e 75 mm de poliestireno expandido, com área de 15 m². As faces externas estão a 17 °C e 2 °C. Encontre o fluxo de calor Q̇ pela parede.
Uma parede de 100 mm lã mineral e 75 mm madeira separa um ambiente a 22 °C do ar externo a -11 °C. Os coeficientes de convecção são 10 W/(m²·K) por dentro e 20 W/(m²·K) por fora, e a área da parede é 6 m². Encontre a temperatura Ts da superfície interna da parede.
Um motor de 0,55 kW a 1440 rpm aciona um parafuso sem-fim com 4 entrada(s). A coroa tem 72 dentes e a transmissão tem eficiência de 55%. Encontre o torque de saída Tw no eixo da coroa.
Um motor de 1,5 kW a 1450 rpm aciona a engrenagem A (16 dentes), que engrena com a engrenagem B (32 dentes). A engrenagem C (24 dentes), no mesmo eixo de B, aciona a engrenagem D (50 dentes) no eixo de saída. Cada engrenamento tem eficiência de 96%. Encontre o torque de saída Tout.
Encontre f(t) para F(s) = (4s + 35)/(s² + 8s + 16) e calcule f(0,1).
Um sistema é descrito pela equação diferencial y″ + 7y′ + 6y = 15u, com entrada u(t) e saída y(t). Encontre sua função de transferência G(s) = Y(s)/U(s) (condições iniciais nulas) e calcule a resposta ao impulso g(t) em t = 0,2 s. Encontre g(0,2).
A planta G(s) = K/(s(s + 2)) está em uma malha de realimentação negativa unitária. Encontre o ganho K para o qual a malha fechada é criticamente amortecida (dois polos reais iguais).
Reduza o diagrama de blocos com G₁ = 3/(s + 4), G₂ = 1/(s + 3), uma realimentação negativa interna H₁ = 4 em torno de G₂ e uma realimentação negativa externa H₂ = 0,5. Encontre o ganho CC T(0) de C(s)/R(s).
Um sistema tem a função de transferência G(s) = 85/(s² + 11s + 85) e recebe uma entrada em degrau unitário. Encontre o tempo de pico tp da resposta ao degrau.
Uma malha de realimentação negativa unitária tem G(s) = 160/(s(s + 16)). Encontre o tempo de acomodação de 2 % ts da resposta ao degrau de malha fechada, usando ts ≈ 4/(ζωₙ).
Uma malha com realimentação unitária tem G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Encontre o ganho K que dá um erro em regime permanente de 5 % para uma entrada em degrau.
Um controlador PD C(s) = 10 + Kd·s controla a planta G(s) = 5/(s(s + 4)) em uma malha com realimentação unitária. Encontre o ganho derivativo Kd que dá à malha fechada um coeficiente de amortecimento ζ = 0,707.
Resposta: RA = −12,5 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Anti-horário positivo.
RA é negativa: o apoio fixo em A precisa segurar a viga para baixo.
Resposta: RA = 42 kN
Equilíbrio estático: um corpo em repouso tem ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 em relação a qualquer ponto. Substitua cada carga distribuída pela sua resultante (a sua área) atuando no centroide do diagrama de carga, e tome momentos em relação a um apoio para eliminar a reação desse apoio da equação.
Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário. Depois o equilíbrio das forças verticais.
Resposta: δ = 5,485 mm
Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).
E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.
Resposta: σmax = 397,9 MPa
Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.
A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.
O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.
Resposta: do = 20,84 mm
Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.
Um eixo maciço precisaria de d = 20,4 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.
Resposta: TA = 222,2 N·m
Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas TA + TB = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).
Resposta: Vx = −24,38 kN
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.
Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.
Resposta: Mmax = 34,03 kN·m
Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.
Equilíbrio da viga inteira.
O esforço cortante começa em RA, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.
Resposta: σy′ = 83,35 MPa
Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
A soma das tensões normais não muda com a rotação.
Resposta: σn = 105 MPa
Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Cilindro de parede fina: tensão circunferencial σh = pr/t e tensão axial σa = pr/(2t); essas são as tensões principais na parede.
Tome x ao longo do eixo (σa) e y na direção circunferencial (σh). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.
Resposta: δP = 4,305 mm
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).
Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.
Resposta: MA = 12 kN·m
Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).
Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.
A força do apoio RB sozinha levanta a extremidade livre em RBL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.
Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.
Resposta: Pcr = 38,59 kN
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.
Resposta: d = 37,37 mm
Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.
Verificação: a esbeltez KL/r é 112,4, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.
Resposta: H = 4,128 m
Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.
A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.
No topo a velocidade vertical é zero: vy² = 2gH.
Resposta: H = 106,8 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Resposta: T = 14,4 N
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d). Em uma trajetória circular a força resultante em direção ao centro deve ser igual a mv²/r.
Verificação: T = mg(3 − 2cos θ) = 14,4 N.
Resposta: v = 3,431 m/s
Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).
A rampa é lisa, então só a faixa remove energia.
Resposta: ζ = 0,4
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, então o sistema é subamortecido e oscila enquanto decai.
Resposta: fn = 5,648 Hz
Vibração livre de um sistema massa–mola: a frequência natural não amortecida é ωn = √(k/m) em rad/s, e fn = ωn/(2π) em Hz. Um amortecedor viscoso c dá o fator de amortecimento ζ = c/cc, com amortecimento crítico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Um sistema subamortecido (ζ < 1) oscila em ωd = ωn·√(1 − ζ²). Molas em paralelo se somam, k = k₁ + k₂; molas em série se somam pelos inversos, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Só k1 e k2 estão em paralelo. Esse par está em série com k3, então combine-os pelos inversos.
Resposta: ηmax = 49,32 %
Limites da segunda lei: nenhum ciclo operando entre reservatórios às temperaturas absolutas TH e TL supera o ciclo reversível (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) e COPHP,max = TH/(TH − TL). A energia sempre se conserva: QH = W + QL.
Resposta: Ẇmin = 0,4352 kW
Limites da segunda lei: nenhum ciclo operando entre reservatórios às temperaturas absolutas TH e TL supera o ciclo reversível (de Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) e COPHP,max = TH/(TH − TL). A energia sempre se conserva: QH = W + QL.
Uma máquina reversível, que tem o maior COP, precisa do menor trabalho.
Resposta: qin = 1841 kJ/kg
Ciclo Diesel (motor de ignição por compressão): 1→2 compressão isentrópica, 2→3 fornecimento de calor a pressão constante, 3→4 expansão isentrópica, 4→1 rejeição de calor a volume constante. Com taxa de compressão r = v₁/v₂ e razão de corte rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) e η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Resposta: wnet = 408,9 kJ/kg
Ciclo Brayton (turbina a gás): 1→2 compressão isentrópica, 2→3 fornecimento de calor a pressão constante, 3→4 expansão isentrópica na turbina, 4→1 rejeição de calor a pressão constante. Com razão de pressões rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k e η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Trabalho líquido w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Com rendimentos isentrópicos, o compressor precisa de ws/ηc e a turbina fornece ηt·ws.
Razão de trabalho reverso: wc/wt = 39,72%.
Resposta: p2 = 276,8 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
Resposta: pC = 57,15 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.
Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.
Resposta: hf = 21,94 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Resposta: H = 6,949 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.
Resposta: Pel = 13,08 kW
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Resposta: H = 41,2 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
Resposta: Q̇ = 100 W
Resistência térmica: o fluxo de calor permanente através de camadas em série se comporta como corrente em resistores em série: Q̇ = ΔT/ΣR, com R = L/(kA) para uma camada condutora e R = 1/(hA) para uma superfície com convecção. A queda de temperatura em cada camada é proporcional à sua resistência.
Resposta: Ts = 20,93 °C
Resistência térmica: o fluxo de calor permanente através de camadas em série se comporta como corrente em resistores em série: Q̇ = ΔT/ΣR, com R = L/(kA) para uma camada condutora e R = 1/(hA) para uma superfície com convecção. A queda de temperatura em cada camada é proporcional à sua resistência.
Resposta: Tw = 36,11 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: Tout = 37,93 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Resposta: f(0.1) = 3,955
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Resposta: g(0.2) = 1,553
Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforma derivadas em multiplicações por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares usuais: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), e um deslocamento s → s + σ multiplica a função do tempo por e−σt. Para inverter uma F(s) racional, decomponha-a em frações parciais: o resíduo de um polo simples p é A = [(s − p)·F(s)] em s = p. Teorema do valor final: f(∞) = lims→0 s·F(s), válido apenas quando todos os polos de s·F(s) estão no semiplano esquerdo. Teorema do valor inicial: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Resposta: K = 1
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Um polinômio s² + βs + γ tem uma raiz dupla quando β² = 4γ.
Resposta: T(0) = 0,1017
Álgebra de diagramas de blocos: blocos em série se multiplicam (G₁·G₂), blocos em paralelo se somam (G₁ + G₂), e uma malha com caminho direto G e caminho de realimentação H se reduz a T = G/(1 + G·H) para realimentação negativa e G/(1 − G·H) para realimentação positiva. Reduza primeiro as malhas internas e depois avance para fora. Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica 1 + G(s)H(s) = 0. Para uma malha estável, uma entrada em degrau de tamanho A dá a saída em regime permanente A·T(0); com realimentação unitária, o erro em regime permanente para um degrau é A/(1 + Kp) com Kp = G(0).
Resposta: tp = 0,4246 s
Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
O denominador deve coincidir com s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Resposta: ts = 0,5 s
Resposta ao degrau: um sistema de primeira ordem G(s) = K/(τs + 1) responde a um degrau de tamanho U com y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): ele atinge 63,2 % do valor final K·U após uma constante de tempo τ e 98 % após 4τ. Um sistema de segunda ordem G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tem os polos s = −ζωₙ ± jωd com ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 a resposta ao degrau tem sobressinal: sobressinal percentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tempo de pico tp = π/ωd e tempo de acomodação de 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compare o denominador com s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obter ωₙ e ζ. Para um sistema massa–mola–amortecedor, ωₙ = √(k/m) e ζ = c/(2√(km)); para um circuito RLC série, ωₙ = 1/√(LC) e ζ = (R/2)·√(C/L).
Nesta malha ζωₙ = a/2 seja qual for K: aumentar K aumenta o sobressinal, mas não encurta o tempo de acomodação.
Resposta: K = 190
Erro em regime permanente: em uma malha com realimentação unitária e função de transferência de malha aberta G(s), o erro é E(s) = R(s)/(1 + G(s)), e pelo teorema do valor final ess = lims→0 s·E(s). O tipo do sistema é o número de polos de G(s) em s = 0. As constantes de erro são Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) e Ka = lim s²·G(s), todas para s → 0. Um degrau de tamanho A dá ess = A/(1 + Kp), uma rampa A·t dá A/Kv e uma parábola A·t²/2 dá A/Ka. Uma malha do tipo 0 segue um degrau com erro finito, uma malha do tipo 1 o segue exatamente e segue uma rampa com erro finito.
Verifique também a estabilidade de malha fechada: para esta malha de segunda ordem qualquer K > 0 é estável.
Resposta: Kd = 1,2 s
Controle P, PI e PID: o controlador C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s atua sobre o erro. Um ganho proporcional torna a malha mais rápida e reduz o erro de uma planta do tipo 0, mas nunca o elimina. O termo integral acrescenta um polo em s = 0: o tipo do sistema sobe uma unidade, e um degrau é seguido sem erro. O termo derivativo acrescenta amortecimento. Para escolher os ganhos, escreva o polinômio característico de malha fechada e compare-o com s² + 2ζωns + ωn². Então %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd com ωd = ωn√(1 − ζ²), e ts ≈ 4/(ζωn).
O termo derivativo acrescenta amortecimento sem alterar ωₙ.
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