Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 200 mm e diâmetro da garganta de 150 mm. A pressão na entrada é 34 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 34 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Uma mangueira com diâmetro interno de 20 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 3 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 2,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta p_C no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.

d = 20 mmz_C = +3 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 15 L/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 15 L/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m enquanto seu eixo absorve 6,6 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 30 L/sH = 18 mP_shaft = 6,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 400 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 42,92 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN

Resposta

F = 42,92 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 1,722 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,5·4 = 51,8 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 1,333/(1,5·4) = 1,722 m

Resposta

y_cp = 1,722 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 176,2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v₁ = v₂·(150/200)² = 0,5625·v₂

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·34000/(1000·(1 − 0,3164))) = 9,974 m/s

v₁ = 5,61 m/s

Vazão

Q = A₂·v₂ = 0,01767·9,974 = 0,1762 m³/s = 176,2 L/s

Resposta

Q = 176,2 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p_C = 47,34 kPa

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Bernoulli da superfície até C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(7,004²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 53,96 = 47,34 kPa

Resposta

p_C = 47,34 kPa

Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 35,25 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,015/0,004418 = 3,395 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,075)·3,395²/(2·9,81) = 35,25 m

Resposta

h_f = 35,25 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 4,778 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perda de carga total

h_f = 18·0,1859 = 3,346 m

h_m = 7,7·0,1859 = 1,432 m

Δz = h_f + h_m = 4,778 m

Resposta

Δz = 4,778 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 80,26 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·18 = 5,297 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 5,297/6,6 = 80,26%

Resposta

η = 80,26%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 54,34 m

Velocidade

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53,33 + 5)·0,1469 = 8,569 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 40,77 + 8,569 = 54,34 m

Resposta

H = 54,34 m

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