Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 220 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 110 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 40 mm, 4,5 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a velocidade do jato v. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 110 kPa (manométrica)h = 4,5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 6 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 6 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,018) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 5). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 10 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 38 m enquanto seu eixo absorve 4,8 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 10 L/sH = 38 mP_shaft = 4,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 15 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 100 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 103 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Resposta

F = 103 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,048 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,75 + 1,302/(1,75·2,5) = 2,048 m

Resposta

y_cp = 2,048 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 210 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−10) = 210 kPa

Resposta

p₂ = 210 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 17,56 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(110000/1000 + 9,81·4,5)) = 17,56 m/s

Resposta

v = 17,56 m/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 152,3 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 152,3 m

Resposta

h_f = 152,3 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 4,778 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 18 + 6,7)·0,1859 = 4,778 m

Resposta

H = 4,778 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 77,66 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·38 = 3,728 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 3,728/4,8 = 77,66%

Resposta

η = 77,66%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 19,65 m

Velocidade

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 6)·0,2115 = 4,654 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 15 + 4,654 = 19,65 m

Resposta

H = 19,65 m

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