Força hidrostática
- Pressão em uma profundidade
- p = ρgh
- Força em uma parede vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de pressão
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Retângulo
- Ic = bH³/12
Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Continuidade e Bernoulli
- Continuidade
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Vazão
- Q = A·v
- Área do círculo
- A = πd²/4
Atrito em tubulações e perda de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime de escoamento
- laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
- Velocidade média
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
- Queda de pressão
- Δp = ρ·g·hf
- Dois reservatórios abertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Saída livre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas e potência de bombas
- Potência hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potência no eixo
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potência elétrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura manométrica da bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdas do sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Exercícios
1.Força hidrostáticaMédia
Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.
d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.
d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 850 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.
p0 − p = 850 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 100 mm enquanto sobe 9 m. Na seção 1 a pressão é 230 kPa e a velocidade é 3 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 230 kPav1 = 3 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Água escoa com velocidade média de 0,9 m/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.
V = 0,9 m/sL = 500 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. A superfície da água do reservatório superior está 22 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.
Δz = 22 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
Em um ensaio, uma bomba fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 54 m enquanto seu eixo absorve 39,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.
Q = 60 L/sH = 54 mPshaft = 39,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 18 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 200 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.
Q = 50 L/sΔz = 18 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5ptank = 200 kPa
H = m
3Soluções
1.Força hidrostática
Resposta: F = 121,4 kN
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN
Resposta
F = 121,4 kN
2.Força hidrostática
Resposta: ycp = 4,373 m
Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.
Profundidade do centroide e área
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Força resultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·4,25·2,5 = 106,8 kN
Centro de pressão
A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.
Ic = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,25 + 1,302/(4,25·2,5) = 4,373 m
Resposta
ycp = 4,373 m
3.Continuidade e Bernoulli
Resposta: v = 37,64 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli até o ponto de estagnação
O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·850/1,2) = 37,64 m/s
Resposta
v = 37,64 m/s
4.Continuidade e Bernoulli
Resposta: p2 = 123,4 kPa
Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.
Continuidade e Bernoulli
Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(150/100)² = 6,75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 230 + (−18,28) − 88,29 = 123,4 kPa
Resposta
p2 = 123,4 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: hf = 6,193 m
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Carga cinética
V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,1)·0,9²/(2·9,81) = 6,193 m
Resposta
hf = 6,193 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga
Resposta: Q = 226,5 L/s
Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.
Coeficientes de perda
f·L/D = 0,022·400/0,3 = 29,33
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Equação da energia
As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.
22 = (29,33 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·22/42,03) = 3,205 m/s
Vazão
Q = V·π·D²/4 = 3,205·0,07069 = 0,2265 m³/s = 226,5 L/s
Resposta
Q = 226,5 L/s
7.Bombas e potência de bombas
Resposta: η = 80,06 %
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·54 = 31,78 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 31,78/39,7 = 80,06%
Resposta
η = 80,06%
8.Bombas e potência de bombas
Resposta: H = 45,32 m
Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.
Velocidade
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0,408 = 6,937 m
Carga de pressão
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Altura manométrica da bomba
As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 18 + 20,39 + 6,937 = 45,32 m
Resposta
H = 45,32 m
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