Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 13 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. A pressão no trecho estreito é 230 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 13 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 230 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 75 mm enquanto sobe 1 m. Na seção 1 a pressão é 380 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 3 m/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 3 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 37 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 37 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 78% fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 72 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 15 L/sH = 72 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 3 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 3

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 88,29 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·4,5 = 88,29 kN

Resposta

F = 88,29 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 21,58 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·1 = 21,58 kN

Resposta

F = 21,58 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 233 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,013/0,007854 = 1,655 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,013/0,004418 = 2,943 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 230 + ½·1000·(2,943² − 1,655²)/1000 = 230 + 2,96 = 233 kPa

Resposta

p₁ = 233 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 353,3 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(150/75)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 6²)/1000 = −16,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−16,88) − 9,81 = 353,3 kPa

Resposta

p₂ = 353,3 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 8,257 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,25)·3²/(2·9,81) = 8,257 m

Resposta

h_f = 8,257 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 144,3 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·400/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

37 = (30 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·37/34,4) = 4,594 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,594·0,03142 = 0,1443 m³/s = 144,3 L/s

Resposta

Q = 144,3 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 13,58 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·72 = 10,59 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 10,59/0,78 = 13,58 kW

Resposta

P_shaft = 13,58 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 9,952 m

Velocidade

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 3)·0,1859 = 1,952 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 8 + 1,952 = 9,952 m

Resposta

H = 9,952 m

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