Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 25 mm. No trecho largo a pressão é 210 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 210 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 130 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 30 mm, 4,5 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a velocidade do jato v. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 130 kPa (manométrica)h = 4,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 2 L/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 2 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 26 m. O rendimento da bomba é 75% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 80 L/sH = 26 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 75 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 9 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 85%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 138 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3,75 = 138 kN

Resposta

F = 138 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,633 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·3 = 64,75 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 1/(2,5·3) = 2,633 m

Resposta

y_cp = 2,633 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 187,5 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−22,5) = 187,5 kPa

Resposta

p₂ = 187,5 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 18,66 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(130000/1000 + 9,81·4,5)) = 18,66 m/s

Resposta

v = 18,66 m/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 6,346 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,002/0,001963 = 1,019 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,05)·1,019²/(2·9,81) = 6,346 m

Resposta

h_f = 6,346 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,303 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·300/0,3 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perda de carga total

h_f = 15·0,05738 = 0,8607 m

h_m = 7,7·0,05738 = 0,4418 m

Δz = h_f + h_m = 1,303 m

Resposta

Δz = 1,303 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 30,23 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·26 = 20,4 kW

Potência no eixo

P_shaft = 20,4/0,75 = 27,21 kW

Potência elétrica

P_el = 27,21/0,9 = 30,23 kW

Resposta

P_el = 30,23 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 9,335 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 5)·0,119 = 1,785 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 9 + 1,785 = 10,78 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·10,78/0,85 = 9,335 kW

Resposta

P_shaft = 9,335 kW

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