Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 50 mm. O nível da água é mantido 4 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,6. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 4 mC_d = 0,6g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 75 mm para 40 mm enquanto sobe 7 m. Na seção 1 a pressão é 240 kPa e a velocidade é 1,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,4 m/s em uma tubulação horizontal de 800 m de comprimento e diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,4 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 28 m. O rendimento da bomba é 85% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 88%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 20 L/sH = 28 mη_pump = 85%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 7 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 49,05 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Resposta

F = 49,05 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 208,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Resposta

F = 208,5 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 10,44 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,6·0,001963·8,859 = 0,01044 m³/s = 10,44 L/s

Resposta

Q = 10,44 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 153,9 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(75/40)² = 6,152 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 6,152²)/1000 = −17,39 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−17,39) − 68,67 = 153,9 kPa

Resposta

p₂ = 153,9 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 230,4 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,2)·2,4²/(2·9,81) = 23,49 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·23,49 = 230400 Pa = 230,4 kPa

Resposta

Δp = 230,4 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 10,99 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·300/0,15 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perda de carga total

h_f = 30·0,2611 = 7,834 m

h_m = 12,1·0,2611 = 3,16 m

Δz = h_f + h_m = 10,99 m

Resposta

Δz = 10,99 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 7,344 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·28 = 5,494 kW

Potência no eixo

P_shaft = 5,494/0,85 = 6,463 kW

Potência elétrica

P_el = 6,463/0,88 = 7,344 kW

Resposta

P_el = 7,344 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 9,892 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0,08263 = 2,892 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 7 + 2,892 = 9,892 m

Resposta

H = 9,892 m

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