Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 1,5 mH = 3 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 1 mH = 1,5 m

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
12d1​ = 75 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 50 mm. No trecho largo a pressão é 260 kPa e a velocidade é 2,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
C210,5 m1,5 md = 25 mmpC​ = ?

Uma mangueira com diâmetro interno de 25 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 0,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 1,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a pressão absoluta pC no ponto C. A pressão atmosférica é 101,3 kPa.

d = 25 mmzC = +0,5 mz2 = −1,5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
Q = 6 L/sD = 50 mmL = 50 mf = 0,03

Água escoa a 6 L/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.

Q = 6 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 10Δz = 30 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0,0152× curva (K = 0,3)

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 30 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 30 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 40 L/sH = 76 m

Em um ensaio, uma bomba fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 76 m enquanto seu eixo absorve 49,7 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 40 L/sH = 76 mPshaft = 49,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
150 kPa (manométrica)PQ = 50 L/sΔz = 19 mL = 500 m, D = 150 mm, f = 0,02, ΣK = 8

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 19 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 150 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 50 L/sΔz = 19 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 176,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
comportad = 1,5 mH = 3 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Resposta

F = 176,6 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 22,66 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
comportad = 1 mH = 1,5 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·1,75·1,5 = 22,66 kN

Resposta

F = 22,66 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 249,7 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−10,28) = 249,7 kPa

Resposta

p2 = 249,7 kPa
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: pC = 81,68 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Bernoulli da superfície até C

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 19,62 = 81,68 kPa

Resposta

pC = 81,68 kPa

Se essa pressão cair até a pressão de vapor da água, o sifão para de funcionar.

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: hf = 14,28 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,006/0,001963 = 3,056 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 3,056²/(2·9,81) = 0,4759 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,05)·3,056²/(2·9,81) = 14,28 m

Resposta

hf = 14,28 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 279,9 L/s

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

30 = (6 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·30/18,1) = 5,703 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 5,703·0,04909 = 0,2799 m³/s = 279,9 L/s

Resposta

Q = 279,9 L/s
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 60 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·76 = 29,82 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 29,82/49,7 = 60%

Resposta

η = 60%
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 64,76 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 8)·0,408 = 30,47 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 19 + 15,29 + 30,47 = 64,76 m

Resposta

H = 64,76 m

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