Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa a 25 L/s por um tubo horizontal que se estreita de 200 mm para 150 mm. A pressão no trecho estreito é 60 kPa. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₁ no trecho largo.

Q = 25 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 60 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 50 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 150 kPa e a velocidade é 1,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 20 L/s em uma tubulação de 50 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 20 L/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 72% fornece 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 38 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 40 L/sH = 38 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 4 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 4

H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 58,86 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·4 = 58,86 kN

Resposta

F = 58,86 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 60,26 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,25·1,5 = 60,26 kN

Resposta

F = 60,26 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₁ = 60,68 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,025/0,03142 = 0,7958 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 60 + ½·1000·(1,415² − 0,7958²)/1000 = 60 + 0,6841 = 60,68 kPa

Resposta

p₁ = 60,68 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 58,07 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/50)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−62,5) − 29,43 = 58,07 kPa

Resposta

p₂ = 58,07 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 0,1033 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,02/0,03142 = 0,6366 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,6366²/(2·9,81) = 0,02066 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,2)·0,6366²/(2·9,81) = 0,1033 m

Resposta

h_f = 0,1033 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 3,713 m

Velocidade

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,3 = 5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Perda de carga total

h_f = 5·0,408 = 2,04 m

h_m = 4,1·0,408 = 1,673 m

Δz = h_f + h_m = 3,713 m

Resposta

Δz = 3,713 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 20,71 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·38 = 14,91 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 14,91/0,72 = 20,71 kW

Resposta

P_shaft = 20,71 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 15,31 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 4)·0,3046 = 7,31 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 8 + 7,31 = 15,31 m

Resposta

H = 15,31 m

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