Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 4 mH = 2,5 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 2,5 mH = 1,5 m

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade ycp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuidade e BernoulliMédia
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 27 kPaQ = ?

Água escoa por um medidor Venturi horizontal com diâmetro de entrada de 250 mm e diâmetro da garganta de 125 mm. A pressão na entrada é 27 kPa maior que na garganta. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q.

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 27 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidade e BernoulliDifícil
12d1​ = 150 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 6 m

A água sobe por um tubo que se estreita de 150 mm para 75 mm enquanto sobe 6 m. Na seção 1 a pressão é 280 kPa e a velocidade é 2 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 na seção 2.

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 280 kPav1 = 2 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 1,6 m/sD = 250 mmL = 200 mf = 0,018

Água escoa com velocidade média de 1,6 m/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito hf.

V = 1,6 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0,0223× curva (K = 0,3)

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 30 L/sH = 18 m

Em um ensaio, uma bomba fornece 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m enquanto seu eixo absorve 6,2 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 30 L/sH = 18 mPshaft = 6,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Bombas e potência de bombasDifícil
250 kPa (manométrica)PQ = 12 L/sΔz = 8 mL = 500 m, D = 100 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Uma bomba transporta 12 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 8 m mais alta. A tubulação tem 500 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 250 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 12 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 257,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
comportad = 4 mH = 2,5 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Resposta

F = 257,5 kN
2.Força hidrostática

Resposta: ycp = 3,308 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
comportad = 2,5 mH = 1,5 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·1,5 = 47,82 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,25 + 0,2813/(3,25·1,5) = 3,308 m

Resposta

ycp = 3,308 m
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 93,14 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidade

v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2

Bernoulli entre a entrada e a garganta

O tubo é horizontal, então só a pressão e a velocidade mudam.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·27000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,589 m/s
v1 = 1,897 m/s

Vazão

Q = A2·v2 = 0,01227·7,589 = 0,09314 m³/s = 93,14 L/s

Resposta

Q = 93,14 L/s
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 191,1 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/75)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−30) − 58,86 = 191,1 kPa

Resposta

p2 = 191,1 kPa
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: hf = 1,879 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,25)·1,6²/(2·9,81) = 1,879 m

Resposta

hf = 1,879 m
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 1,322 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·200/0,25 = 17,6
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perda de carga total

hf = 17,6·0,05288 = 0,9307 m
hm = 7,4·0,05288 = 0,3913 m
Δz = hf + hm = 1,322 m

Resposta

Δz = 1,322 m
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 85,44 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·18 = 5,297 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 5,297/6,2 = 85,44%

Resposta

η = 85,44%
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 43,36 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,012/0,007854 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0,119 = 9,876 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 25,48 + 9,876 = 43,36 m

Resposta

H = 43,36 m

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