Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade
p = ρgh
Força em uma parede vertical
F = ρg·hc·A
Centro de pressão
yp = yc + Ic/(ycA)
Retângulo
Ic = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Vazão
Q = A·v
Área do círculo
A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento
laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas
hm = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K
entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão
Δp = ρ·g·hf
Dois reservatórios abertos
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo
Pshaft = Ph/ηpump
Potência elétrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Altura manométrica da bomba
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdas do sistema
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia
comportad = 4 mH = 1 m

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Força hidrostáticaDifícil
comportad = 3 mH = 2 m

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidade e BernoulliMédia
12d1​ = 100 mm, p1​ = 180 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 180 kPa e a velocidade é 3 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p2 no trecho estreito.

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 180 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuidade e BernoulliDifícil
C210,5 m2,5 md = 20 mmQ = ?

Uma mangueira com diâmetro interno de 20 mm sifona água de um tanque aberto. O ponto mais alto C da mangueira está 0,5 m acima da superfície da água, e a saída (aberta para o ar) está 2,5 m abaixo da superfície da água. Despreze as perdas e use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q.

d = 20 mmzC = +0,5 mz2 = −2,5 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia
V = 1,4 m/sD = 150 mmL = 50 mf = 0,03

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 1,4 m/s em uma tubulação horizontal de 50 m de comprimento e diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 1,4 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil
K = 10Δz = 19 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0,0182× curva (K = 0,3)

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 19 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 19 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas e potência de bombasMédia
PQ = 80 L/sH = 30 m

Uma bomba fornece 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 30 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 92%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica Pel consumida pelo motor, em kW.

Q = 80 L/sH = 30 mηpump = 78%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas e potência de bombasDifícil
200 kPa (manométrica)PQ = 30 L/sΔz = 11 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0,015, ΣK = 8

Uma bomba transporta 30 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 150 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 200 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 66,22 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
comportad = 4 mH = 1 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·1,5 = 66,22 kN

Resposta

F = 66,22 kN
2.Força hidrostática

Resposta: F = 197,8 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·yc·A. Ela atua no centro de pressão, ycp = yc + Ic/(ycA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
comportad = 3 mH = 2 mF

Força resultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4·4 = 197,8 kN

Resposta

F = 197,8 kN
3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p2 = 170,3 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(100/75)² = 5,333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 5,333²)/1000 = −9,722 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−9,722) = 170,3 kPa

Resposta

p2 = 170,3 kPa
4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 2,2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade na mangueira

A superfície e a saída estão as duas abertas para o ar, então os termos de pressão se cancelam.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0003142·7,004 = 0,0022 m³/s = 2,2 L/s

Resposta

Q = 2,2 L/s
5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 9,8 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,15)·1,4²/(2·9,81) = 0,999 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·0,999 = 9800 Pa = 9,8 kPa

Resposta

Δp = 9,8 kPa
6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 163,3 L/s

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = hf + hm, incluindo a perda na saída K = 1.

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·300/0,25 = 21,6
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

19 = (21,6 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·19/33,7) = 3,326 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,326·0,04909 = 0,1633 m³/s = 163,3 L/s

Resposta

Q = 163,3 L/s
7.Bombas e potência de bombas

Resposta: Pel = 32,81 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·30 = 23,54 kW

Potência no eixo

Pshaft = 23,54/0,78 = 30,18 kW

Potência elétrica

Pel = 30,18/0,92 = 32,81 kW

Resposta

Pel = 32,81 kW
8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 34,77 m

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: Pshaft = Ph/ηpump, e o motor consome Pel = Pshaft/ηmotor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Velocidade

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m

Perdas de carga

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1469 = 3,379 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 20,39 + 3,379 = 34,77 m

Resposta

H = 34,77 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics