Mecânica dos Fluidos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 150 mm para 100 mm. No trecho largo a pressão é 310 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 200 mm para 75 mm enquanto sobe 5 m. Na seção 1 a pressão é 220 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 1,8 m/s em uma tubulação de 500 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 1,8 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 18 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 2 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 18 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 20 m. O rendimento da bomba é 70% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 88%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 50 L/sH = 20 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 5 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 5 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 70%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 220,7 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·9 = 220,7 kN

Resposta

F = 220,7 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 181 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4·4,5 = 181 kN

Resposta

F = 181 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 308 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/100)² = 2,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2,25²)/1000 = −2,031 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−2,031) = 308 kPa

Resposta

p₂ = 308 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 157 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(200/75)² = 5,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 5,333²)/1000 = −13,94 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−13,94) − 49,05 = 157 kPa

Resposta

p₂ = 157 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 5,505 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,3)·1,8²/(2·9,81) = 5,505 m

Resposta

h_f = 5,505 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 147,1 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·100/0,2 = 9

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

18 = (9 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·18/16,1) = 4,684 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,684·0,03142 = 0,1471 m³/s = 147,1 L/s

Resposta

Q = 147,1 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 15,93 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·20 = 9,81 kW

Potência no eixo

P_shaft = 9,81/0,7 = 14,01 kW

Potência elétrica

P_el = 14,01/0,88 = 15,93 kW

Resposta

P_el = 15,93 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 7,829 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 5)·0,2611 = 8,966 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 5 + 8,966 = 13,97 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·13,97/0,7 = 7,829 kW

Resposta

P_shaft = 7,829 kW

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