Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 2 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 2 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de glicerina, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em uma tubulação de água indica uma diferença de 10 kPa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. Encontre a velocidade da água v na ponta.

p₀ − p = 10 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um medidor Venturi horizontal (entrada de 200 mm, garganta de 150 mm) transporta água. Um manômetro em U de mercúrio ligado entre a entrada e a garganta mostra uma diferença de nível de 290 mm. O coeficiente de descarga é 0,99. Encontre a vazão Q. Use ρ = 1000 kg/m³ para a água, 13 600 kg/m³ para o mercúrio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 290 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 0,9 m/s em uma tubulação horizontal de 1000 m de comprimento e diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 0,9 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015. A superfície da água do reservatório superior está 25 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 25 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 22 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 90%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 100 L/sH = 22 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 40 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 6 m mais alta. A tubulação tem 300 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de alvenaria de tijolos tem 2,5 m de largura. A água escoa uniformemente com 2,5 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2,5 my = 2,5 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Uma galeria de concreto com diâmetro interno de 375 mm (n de Manning = 0,013) deve atingir uma velocidade de autolimpeza de 1 m/s quando escoa exatamente cheia. Encontre a declividade mínima S (em m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 80,93 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3 = 80,93 kN

Resposta

F = 80,93 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,333 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,25·2,25 = 62,58 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,4219/(2,25·2,25) = 2,333 m

Resposta

y_cp = 2,333 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 4,472 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·10000/1000) = 4,472 m/s

Resposta

v = 4,472 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 179,2 L/s

Diferença de pressão pelo manômetro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,29 = 35846 Pa

Velocidade na garganta

Continuidade e Bernoulli juntas dão a velocidade ideal na garganta.

β = 150/200 = 0,75

v₂ = √(2·35846/(1000·(1 − 0,3164))) = 10,24 m/s

Vazão real

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,01767·10,24 = 0,1792 m³/s = 179,2 L/s

Resposta

Q = 179,2 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 108 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,075)·0,9²/(2·9,81) = 11,01 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·11,01 = 108000 Pa = 108 kPa

Resposta

Δp = 108 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 33,05 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

25 = (15 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·25/27,7) = 4,208 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,208·0,007854 = 0,03305 m³/s = 33,05 L/s

Resposta

Q = 33,05 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 30,74 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·22 = 21,58 kW

Potência no eixo

P_shaft = 21,58/0,78 = 27,67 kW

Potência elétrica

P_el = 27,67/0,9 = 30,74 kW

Resposta

P_el = 30,74 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 15,4 m

Velocidade

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,2611 = 9,401 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão abertas e praticamente em repouso, então os termos de pressão e de velocidade desaparecem.

H = Δz + h_L = 6 + 9,401 = 15,4 m

Resposta

H = 15,4 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 23,34 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2,5·2,5 = 6,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·2,5 = 7,5 m

R = A/P = 0,8333 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,8333^2/3·0,004^1/2 = 3,734 m/s

Vazão

Q = A·V = 6,25·3,734 = 23,34 m³/s

Resposta

Q = 23,34 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003968 m/m

Raio hidráulico

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Resolver Manning para S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2064)² = 0,003968

Resposta

S = 0,003968

Isso é um desnível de 3,968 m por quilômetro.

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