Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 100 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 150 kPa e a velocidade é 0,75 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 180 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 20 mm, 4 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 180 kPa (manométrica)h = 4 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água (ρ = 1000 kg/m³) escoa a 2,5 m/s em uma tubulação horizontal de 50 m de comprimento e diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a queda de pressão Δp ao longo da tubulação em kPa.

V = 2,5 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,02) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 0,2). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 60 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 78 m. O rendimento da bomba é 85% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 95%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 60 L/sH = 78 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 32 m mais alta. A tubulação tem 100 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 75%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 50 L/sΔz = 32 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 1 m e taludes de 2:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1 mz = 2n = 0,014S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra revestida de grama com 2,5 m de largura deve transportar 7,2 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,9 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 7,2 m³/sb = 2,5 my = 1,9 mn = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 44,15 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Resposta

F = 44,15 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 38,63 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Resposta

F = 38,63 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 149,4 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−0,6076) = 149,4 kPa

Resposta

p₂ = 149,4 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 6,578 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(180000/1000 + 9,81·4)) = 20,94 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0003142·20,94 = 0,006578 m³/s = 6,578 L/s

Resposta

Q = 6,578 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δp = 46,87 kPa

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Perda de carga

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 4,778 m

Queda de pressão

A tubulação é horizontal e a velocidade não muda, então a equação da energia se reduz a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,778 = 46875 Pa = 46,87 kPa

Resposta

Δp = 46,87 kPa

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 0,5605 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 = 1,6

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 8 + 1,6)·0,05288 = 0,5605 m

Resposta

H = 0,5605 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 56,86 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·78 = 45,91 kW

Potência no eixo

P_shaft = 45,91/0,85 = 54,01 kW

Potência elétrica

P_el = 54,01/0,95 = 56,86 kW

Resposta

P_el = 56,86 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 27,51 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,67 + 8)·0,408 = 10,06 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 32 + 10,06 = 42,06 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·42,06/0,75 = 27,51 kW

Resposta

P_shaft = 27,51 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 6,419 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1)·1 = 3 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 2²) = 5,472 m

R = A/P = 0,5482 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,5482^2/3·0,002^1/2 = 2,14 m/s

Vazão

Q = A·V = 3·2,14 = 6,419 m³/s

Resposta

Q = 6,419 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003013 m/m

Geometria

A = b·y = 2,5·1,9 = 4,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,9 = 6,3 m

R = A/P = 0,754 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·7,2/(4,75·0,8284) = 0,05489

S = 0,05489² = 0,003013

Resposta

S = 0,003013

Isso é um desnível de 3,013 m por quilômetro.

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