Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 2 m de largura fica na parede de um tanque de água do mar, com a borda superior 0,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em uma tubulação de água indica uma diferença de 2 kPa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. Encontre a velocidade da água v na ponta.

p₀ − p = 2 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 200 mm para 100 mm enquanto sobe 9 m. Na seção 1 a pressão é 140 kPa e a velocidade é 0,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 3 L/s em uma tubulação de 800 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 3 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 10) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 70% fornece 20 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 46 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 20 L/sH = 46 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 80 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 100 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 80 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos tem largura de fundo de 1 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,6 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,005. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1,6 mz = 1n = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de concreto sem acabamento com 3 m de largura deve transportar 9,6 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1 m. n de Manning = 0,014. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 9,6 m³/sb = 3 my = 1 mn = 0,014

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 176,6 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·9 = 176,6 kN

Resposta

F = 176,6 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 37,71 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,25·3 = 37,71 kN

Resposta

F = 37,71 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 2 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·2000/1000) = 2 m/s

Resposta

v = 2 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 49,83 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(200/100)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−1,875) − 88,29 = 49,83 kPa

Resposta

p₂ = 49,83 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 47,59 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,003/0,001963 = 1,528 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,528²/(2·9,81) = 0,119 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,05)·1,528²/(2·9,81) = 47,59 m

Resposta

h_f = 47,59 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 2,796 m

Velocidade

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Perda de carga total

h_f = 10,8·0,119 = 1,285 m

h_m = 12,7·0,119 = 1,511 m

Δz = h_f + h_m = 2,796 m

Resposta

Δz = 2,796 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 12,89 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·46 = 9,025 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 9,025/0,7 = 12,89 kW

Resposta

P_shaft = 12,89 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 24,17 m

Velocidade

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 6)·0,1354 = 2,978 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 10,19 + 2,978 = 24,17 m

Resposta

H = 24,17 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 16,23 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,6)·1,6 = 4,16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,6·√(1 + 1²) = 5,525 m

R = A/P = 0,7529 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,7529^2/3·0,005^1/2 = 3,901 m/s

Vazão

Q = A·V = 4,16·3,901 = 16,23 m³/s

Resposta

Q = 16,23 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003966 m/m

Geometria

A = b·y = 3·1 = 3 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1 = 5 m

R = A/P = 0,6 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·9,6/(3·0,7114) = 0,06298

S = 0,06298² = 0,003966

Resposta

S = 0,003966

Isso é um desnível de 3,966 m por quilômetro.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering