Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 4 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 200 mm para 75 mm. No trecho largo a pressão é 250 kPa e a velocidade é 1 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

A água sobe por um tubo que se estreita de 100 mm para 40 mm enquanto sobe 3 m. Na seção 1 a pressão é 190 kPa e a velocidade é 2,25 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ na seção 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 25 L/s em uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 150 m de comprimento com diâmetro interno de 200 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,022. A superfície da água do reservatório superior está 10 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 0,2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Em um ensaio, uma bomba fornece 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 44 m enquanto seu eixo absorve 7,9 kW. Use g = 9,81 m/s². Encontre o rendimento da bomba η em porcentagem.

Q = 15 L/sH = 44 mP_shaft = 7,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 15 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 11 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 65%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 15 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto acabado tem largura de fundo de 2,5 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,7 m de profundidade. n de Manning = 0,012 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 2,5 my = 1,7 mz = 1n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de concreto sem acabamento com 1,5 m de largura deve transportar 2,7 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,7 m. n de Manning = 0,014. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 1,5 my = 0,7 mn = 0,014

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 397,3 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·9 = 397,3 kN

Resposta

F = 397,3 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 113,3 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·2,5 = 113,3 kN

Resposta

F = 113,3 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 225,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7,111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7,111²)/1000 = −24,78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−24,78) = 225,2 kPa

Resposta

p₂ = 225,2 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 64,22 kPa

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/40)² = 14,06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 14,06²)/1000 = −96,35 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−96,35) − 29,43 = 64,22 kPa

Resposta

p₂ = 64,22 kPa

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 2,04 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,15)·1,415²/(2·9,81) = 2,04 m

Resposta

h_f = 2,04 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 100,7 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

10 = (16,5 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·10/19,1) = 3,205 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 3,205·0,03142 = 0,1007 m³/s = 100,7 L/s

Resposta

Q = 100,7 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: η = 81,96 %

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·44 = 6,475 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 6,475/7,9 = 81,96%

Resposta

η = 81,96%

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 4,51 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,1859 = 8,924 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 11 + 8,924 = 19,92 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·19,92/0,65 = 4,51 kW

Resposta

P_shaft = 4,51 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 16,57 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·1,7)·1,7 = 7,14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,7·√(1 + 1²) = 7,308 m

R = A/P = 0,977 m

Velocidade

V = (1/0,012)·0,977^2/3·0,0008^1/2 = 2,321 m/s

Vazão

Q = A·V = 7,14·2,321 = 16,57 m³/s

Resposta

Q = 16,57 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,005022 m/m

Geometria

A = b·y = 1,5·0,7 = 1,05 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·0,7 = 2,9 m

R = A/P = 0,3621 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·2,7/(1,05·0,508) = 0,07087

S = 0,07087² = 0,005022

Resposta

S = 0,005022

Isso é um desnível de 5,022 m por quilômetro.

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