Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 2,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

A água escoa por um tubo horizontal que se estreita de 75 mm para 40 mm. No trecho largo a pressão é 170 kPa e a velocidade é 1,5 m/s. Desprezando as perdas, encontre a pressão p₂ no trecho estreito.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 60 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 20 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 60 kPa (manométrica)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 4 L/s em uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 75 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 4 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Uma tubulação de 200 m de comprimento com diâmetro interno de 300 mm (fator de atrito de Darcy f = 0,018) sai de um reservatório aberto e descarrega como jato livre no ar. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada) e uma válvula (K = 10). Use g = 9,81 m/s². A que altura H a superfície do reservatório deve estar acima da saída da tubulação para uma vazão de 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 80% fornece 150 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 38 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 150 L/sH = 38 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 50 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 21 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 150 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,02; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 6 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 300 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6p_tank = 300 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de alvenaria de tijolos tem 5 m de largura. A água escoa uniformemente com 1,2 m de profundidade. n de Manning = 0,015 e a declividade do fundo é S = 0,004. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 5 my = 1,2 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de concreto acabado com largura de fundo de 6 m e taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical) deve transportar 16 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,2 m. n de Manning = 0,012. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 16 m³/sb = 6 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,012

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 34,34 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1 = 34,34 kN

Resposta

F = 34,34 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 3,595 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·2 = 60,43 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 0,6667/(3,5·2) = 3,595 m

Resposta

y_cp = 3,595 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: p₂ = 157,2 kPa

Continuidade e Bernoulli: para um fluido incompressível a vazão é a mesma em toda seção, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Ao longo de uma linha de corrente sem perdas, p + ½ρv² + ρgz é constante, então onde o fluido é mais rápido ou mais alto sua pressão é menor.

Continuidade e Bernoulli

Trabalhe em Pa, depois divida por 1000 para obter kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(75/40)² = 5,273 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 5,273²)/1000 = −12,78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−12,78) = 157,2 kPa

Resposta

p₂ = 157,2 kPa

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 6,126 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade de saída

β = 20/100 = 0,2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0,9984)) = 10,96 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 10,96²/(2·9,81) = 6,126 m

Resposta

H = 6,126 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 2,786 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,004/0,004418 = 0,9054 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 0,9054²/(2·9,81) = 0,04178 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,075)·0,9054²/(2·9,81) = 2,786 m

Resposta

h_f = 2,786 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: H = 3,584 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Equação da energia

O jato na saída ainda carrega sua carga cinética; ela não é uma perda, mas precisa ser fornecida.

H = (1 + 12 + 11,4)·0,1469 = 3,584 m

Resposta

H = 3,584 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 69,9 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·38 = 55,92 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 55,92/0,8 = 69,9 kW

Resposta

P_shaft = 69,9 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 75,79 m

Velocidade

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53,33 + 6)·0,408 = 24,21 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 21 + 30,58 + 24,21 = 75,79 m

Resposta

H = 75,79 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 22 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 5·1,2 = 6 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,2 = 7,4 m

R = A/P = 0,8108 m

Velocidade

V = (1/0,015)·0,8108^2/3·0,004^1/2 = 3,666 m/s

Vazão

Q = A·V = 6·3,666 = 22 m³/s

Resposta

Q = 22 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,0004797 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·1,2)·1,2 = 9,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 10,33 m

R = A/P = 0,9064 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·16/(9,36·0,9366) = 0,0219

S = 0,0219² = 0,0004797

Resposta

S = 0,0004797

Isso é um desnível de 0,4797 m por quilômetro.

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