Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 3 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 1 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a profundidade y_cp do centro de pressão abaixo da superfície.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidade e BernoulliMédia

Água escoa de um grande tanque aberto por um orifício de borda viva com diâmetro de 20 mm. O nível da água é mantido 2,5 m acima do orifício e o coeficiente de descarga é 0,65. Encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 2,5 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

Um tanque de água fechado tem ar comprimido acima da água a uma pressão manométrica de 130 kPa. A água sai por uma abertura com diâmetro de 30 mm, 3 m abaixo da superfície da água, para o ar livre. Desprezando as perdas, encontre a vazão Q. Use g = 9,81 m/s².

p_air = 130 kPa (manométrica)h = 3 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa com velocidade média de 2,1 m/s em uma tubulação de 300 m de comprimento com diâmetro interno de 150 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

V = 2,1 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 100 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,025. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 4 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 2) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Que diferença de nível d'água Δz entre os reservatórios dá uma vazão de 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 72 m. O rendimento da bomba é 78% e o motor elétrico que a aciona tem rendimento de 92%. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência elétrica P_el consumida pelo motor, em kW.

Q = 100 L/sH = 72 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 18 m mais alta. A tubulação tem 200 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O rendimento da bomba é 78%. Encontre a potência no eixo P_shaft em kW.

Q = 120 L/sΔz = 18 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal trapezoidal de concreto sem acabamento tem largura de fundo de 1 m e taludes de 1:1 (horizontal:vertical). A água escoa uniformemente com 1,9 m de profundidade. n de Manning = 0,014 e a declividade do fundo é S = 0,0008. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 1 my = 1,9 mz = 1n = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal retangular de terra revestida de grama com 1,5 m de largura deve transportar 1,9 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 1,4 m. n de Manning = 0,03. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 1,9 m³/sb = 1,5 my = 1,4 mn = 0,03

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 165,5 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Resposta

F = 165,5 kN

2.Força hidrostática

Resposta: y_cp = 2,633 m

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Centro de pressão

A pressão cresce com a profundidade, então a resultante atua abaixo do centroide.

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 0,6667/(2,5·2) = 2,633 m

Resposta

y_cp = 2,633 m

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 1,43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidade ideal do jato

√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Vazão real

O coeficiente de descarga leva em conta a contração do jato e o atrito na borda.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·7,004 = 0,00143 m³/s = 1,43 L/s

Resposta

Q = 1,43 L/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: Q = 12,62 L/s

Bernoulli da superfície até o jato

v = √(2·(130000/1000 + 9,81·3)) = 17,86 m/s

Vazão

Q = A·v = 0,0007069·17,86 = 0,01262 m³/s = 12,62 L/s

Resposta

Q = 12,62 L/s

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 6,743 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Carga cinética

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,15)·2,1²/(2·9,81) = 6,743 m

Resposta

h_f = 6,743 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Δz = 9,816 m

Velocidade

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perda de carga total

h_f = 25·0,3305 = 8,263 m

h_m = 4,7·0,3305 = 1,553 m

Δz = h_f + h_m = 9,816 m

Resposta

Δz = 9,816 m

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_el = 98,43 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·72 = 70,63 kW

Potência no eixo

P_shaft = 70,63/0,78 = 90,55 kW

Potência elétrica

P_el = 90,55/0,92 = 98,43 kW

Resposta

P_el = 98,43 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 36,36 kW

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0,3046 = 6,092 m

Altura manométrica da bomba

H = Δz + h_L = 18 + 6,092 = 24,09 m

Potência no eixo

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·24,09/0,78 = 36,36 kW

Resposta

P_shaft = 36,36 kW

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 10,1 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,9)·1,9 = 5,51 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 6,374 m

R = A/P = 0,8644 m

Velocidade

V = (1/0,014)·0,8644^2/3·0,0008^1/2 = 1,833 m/s

Vazão

Q = A·V = 5,51·1,833 = 10,1 m³/s

Resposta

Q = 10,1 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,001916 m/m

Geometria

A = b·y = 1,5·1,4 = 2,1 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,4 = 4,3 m

R = A/P = 0,4884 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·1,9/(2,1·0,6202) = 0,04377

S = 0,04377² = 0,001916

Resposta

S = 0,001916

Isso é um desnível de 1,916 m por quilômetro.

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