Hidráulica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Força hidrostática

Pressão em uma profundidade: p = ρgh
Força em uma parede vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de pressão: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Retângulo: I_c = bH³/12

Continuidade e Bernoulli

Continuidade: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Vazão: Q = A·v
Área do círculo: A = πd²/4

Atrito em tubulações e perda de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime de escoamento: laminar abaixo de Re ≈ 2000, turbulento acima de Re ≈ 4000
Velocidade média: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, saída 1,0, curva de 90° ≈ 0,3
Queda de pressão: Δp = ρ·g·h_f
Dois reservatórios abertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Saída livre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas e potência de bombas

Potência hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potência no eixo: P_shaft = P_h/η_pump
Potência elétrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura manométrica da bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdas do sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Escoamento em canais abertos (Manning)

Equação de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Vazão: Q = A·V
Raio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Retângulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapézio (talude z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circular, cheio ou meio cheio: R = D/4
Declividade necessária: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Exercícios

1.Força hidrostáticaMédia

Uma comporta retangular vertical de 1,5 m de largura fica na parede de um tanque de água, com a borda superior 1,5 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Força hidrostáticaDifícil

Uma comporta retangular vertical de 3 m de largura fica na parede de um tanque de óleo, com a borda superior 1 m abaixo da superfície. Encontre a força hidrostática resultante F na comporta.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidade e BernoulliMédia

Um tubo de Pitot estático em um túnel de vento indica uma diferença de 150 Pa entre a pressão de estagnação e a pressão estática. A massa específica do ar é 1,2 kg/m³. Encontre a velocidade do ar v.

p₀ − p = 150 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuidade e BernoulliDifícil

O bocal de uma fonte aponta para cima na vertical. Logo abaixo do bocal o tubo de alimentação tem diâmetro de 100 mm e pressão manométrica de 20 kPa. O diâmetro de saída do bocal é 30 mm, e a diferença de altura ao longo do bocal é desprezível. Desprezando as perdas e a resistência do ar, encontre a altura H que o jato sobe acima do bocal. Use g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 20 kPa (manométrica)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Atrito em tubulações e perda de cargaMédia

Água escoa a 5 L/s em uma tubulação de 100 m de comprimento com diâmetro interno de 50 mm. Use o fator de atrito de Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Encontre a perda de carga por atrito h_f.

Q = 5 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Atrito em tubulações e perda de cargaDifícil

Dois reservatórios abertos estão ligados por uma tubulação de 400 m de comprimento com diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,018. A superfície da água do reservatório superior está 37 m acima da do inferior. As perdas localizadas são uma entrada de cantos vivos (K = 0,5), 3 curvas (K = 0,3 cada), uma válvula (K = 5) e a saída no reservatório inferior (K = 1,0). Use g = 9,81 m/s². Encontre a vazão Q em L/s.

Δz = 37 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas e potência de bombasMédia

Uma bomba com rendimento de 80% fornece 100 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) contra uma altura manométrica de 18 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre a potência no eixo P_shaft necessária, em kW.

Q = 100 L/sH = 18 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Bombas e potência de bombasDifícil

Uma bomba transporta 120 L/s de água (ρ = 1000 kg/m³) de um reservatório inferior aberto para um tanque superior cuja superfície da água está 27 m mais alta. A tubulação tem 400 m de comprimento, diâmetro interno de 250 mm e fator de atrito de Darcy f = 0,015; os coeficientes de perda localizada somam ΣK = 8 (entrada e saída incluídas). Use g = 9,81 m/s². O tanque superior é fechado e o ar acima da água está a uma pressão manométrica de 400 kPa. Encontre a altura manométrica H que a bomba deve acrescentar.

Q = 120 L/sΔz = 27 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)Média

Um canal retangular de terra limpa tem 3 m de largura. A água escoa uniformemente com 0,8 m de profundidade. n de Manning = 0,022 e a declividade do fundo é S = 0,002. Encontre a vazão Q em m³/s.

b = 3 my = 0,8 mn = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)Difícil

Um canal trapezoidal de alvenaria de tijolos com largura de fundo de 1,5 m e taludes de 3:1 (horizontal:vertical) deve transportar 4,3 m³/s em escoamento uniforme com profundidade de 0,6 m. n de Manning = 0,015. Encontre a declividade do fundo necessária S (em m/m).

Q = 4,3 m³/sb = 1,5 my = 0,6 mz = 3n = 0,015

S = m/m

3Soluções

1.Força hidrostática

Resposta: F = 132,4 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·4,5 = 132,4 kN

Resposta

F = 132,4 kN

2.Força hidrostática

Resposta: F = 38,85 kN

Força hidrostática em uma superfície plana: F = ρ·g·y_c·A. Ela atua no centro de pressão, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que sempre fica abaixo do centroide.

Profundidade do centroide e área

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Força resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,5·3 = 38,85 kN

Resposta

F = 38,85 kN

3.Continuidade e Bernoulli

Resposta: v = 15,81 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli até o ponto de estagnação

O escoamento para na ponta, então sua energia cinética aparece como pressão adicional.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·150/1,2) = 15,81 m/s

Resposta

v = 15,81 m/s

4.Continuidade e Bernoulli

Resposta: H = 2,055 m

Velocidade de saída

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0,9919)) = 6,35 m/s

Altura do jato

Bernoulli ao longo do jato: no topo a velocidade é zero e a pressão volta a ser a atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 6,35²/(2·9,81) = 2,055 m

Resposta

H = 2,055 m

5.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: h_f = 11,9 m

Escoamento em tubulações: o número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue o escoamento laminar (Re abaixo de cerca de 2000) do turbulento (acima de cerca de 4000). O atrito ao longo de uma tubulação custa a perda de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Conexões, válvulas, a entrada e a saída acrescentam perdas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre duas superfícies livres de reservatórios, a equação da energia dá Δz = h_f + h_m, incluindo a perda na saída K = 1.

Velocidade média

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Carga cinética

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,05)·2,546²/(2·9,81) = 11,9 m

Resposta

h_f = 11,9 m

6.Atrito em tubulações e perda de carga

Resposta: Q = 219,8 L/s

Coeficientes de perda

f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Equação da energia

As duas superfícies estão abertas para o ar e praticamente em repouso, então todo o Δz é perdido na tubulação.

37 = (28,8 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·37/36,2) = 4,478 m/s

Vazão

Q = V·π·D²/4 = 4,478·0,04909 = 0,2198 m³/s = 219,8 L/s

Resposta

Q = 219,8 L/s

7.Bombas e potência de bombas

Resposta: P_shaft = 22,07 kW

Potência de bombas: a potência fornecida à água é a potência hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. O eixo precisa fornecer mais porque a bomba perde parte dela: P_shaft = P_h/η_pump, e o motor consome P_el = P_shaft/η_motor. A altura manométrica H da bomba decorre da equação da energia: desnível geométrico + carga de pressão + todas as perdas por atrito e localizadas.

Potência hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·18 = 17,66 kW

Potência no eixo

P_shaft = P_h/η = 17,66/0,8 = 22,07 kW

Resposta

P_shaft = 22,07 kW

8.Bombas e potência de bombas

Resposta: H = 77,52 m

Velocidade

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,3046 = 9,747 m

Carga de pressão

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Altura manométrica da bomba

As duas superfícies estão praticamente em repouso, então não há termo de carga cinética.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 27 + 40,77 + 9,747 = 77,52 m

Resposta

H = 77,52 m

9.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: Q = 3,162 m³/s

Equação de Manning (SI): para escoamento uniforme em um canal aberto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, com n o coeficiente de rugosidade, S a declividade do fundo (m/m) e R = A/P o raio hidráulico: área de escoamento dividida pelo perímetro molhado. Só o contorno em contato com a água conta em P, e não a superfície livre. Retângulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapézio com taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Um tubo circular cheio ou meio cheio tem R = D/4.

Geometria

A = b·y = 3·0,8 = 2,4 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,8 = 4,6 m

R = A/P = 0,5217 m

Velocidade

V = (1/0,022)·0,5217^2/3·0,002^1/2 = 1,317 m/s

Vazão

Q = A·V = 2,4·1,317 = 3,162 m³/s

Resposta

Q = 3,162 m³/s

10.Escoamento em canais abertos (Manning)

Resposta: S = 0,003939 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·0,6)·0,6 = 1,98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·0,6·√(1 + 3²) = 5,295 m

R = A/P = 0,374 m

Resolver Manning para S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·4,3/(1,98·0,5191) = 0,06276

S = 0,06276² = 0,003939

Resposta

S = 0,003939

Isso é um desnível de 3,939 m por quilômetro.

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